Espaces et lignes de Green

Brelot, Marcel  ; Choquet, Gustave 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 199-263

Résumé

Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces $G_p\left(M\right)=C^{\mathrm{te}}$) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à $\tau \ge 2\dim$, ils font la théorie dans des espaces $\mathbf{E}$ plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à $\tau \dim$. On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine $\Omega$ greenien de $\mathbf{E}$ en utilisant comme topologie $\mathbf{T}$, celle de $\mathbf{E}$ pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans $\Omega$ issues du pôle $P$. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour $G$ la borne inférieure $0$ sans rencontrer de zéro de grad $G$ et ont une limite pour $G\to 0$. Aux points d’un ensemble $e$ de la frontière de $\Omega$ aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de $e$ en $P$. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans $\Omega$ (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).

Détail

DOI : 10.5802/aif.38