Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann

Parreau, Michel 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 103-197

Résumé

Après avoir étendu aux domaines relativement compacts d’une surface de Riemann la solution du problème de Dirichlet par la méthode de Perron-Brelot, l’article étudie la fonction de Green d’une surface hyperbolique ; le comportement “à l’infini” de cette fonction permet de retrouver pour les potentiels de Green les principaux résultats de la théorie du potentiel newtonien.

Le mémoire traite ensuite des moyennes d’une fonction harmonique $u$ sur une surface de Riemann $S$ ; on dit que $u$ a ses moyennes d’ordre $\Phi$ bornées, ou appartient à la classe $\left(H{M}_{\Phi }\right)$ ($\Phi$ étant une fonction convexe et strictement croissante dans $[0,+\infty [$) si $\Phi \left(\right|u\left|\right)$ a une majorante harmonique ; pour $\Phi =t^{\alpha }$, on parle de moyennes d’ordre $\alpha$ et de classe $\left(H{M}_{\alpha }\right)$. L’espace $\left(H{M}_1\right)$ caractérise la “frontière idéale” de la surface de Riemann considérée.

Lorsque ${lim}_{t\to +\infty }\frac{\Phi \left(t\right)}{t}=+\infty$, l’existence sur une surface $S$ d’une fonction non constante appartenant à $\left(H{M}_{\Phi }\right)$ équivaut à celle d’une fonction harmonique bornée non constante. On montre en effet que toute fonction $u\in \left(H{M}_{\Phi }\right)$ est la limite uniforme sur tout compact d’une suite (croissante si $u\ge 0$) de fonctions harmoniques bornées. On en déduit la représentation canonique de Martin de $u$ et celle de la plus petite majorante harmonique de $\Phi \left(\right|u\left|\right)$.

La notion de moyenne d’ordre $\alpha$ $(\alpha >0)$ peut être introduite également pour les fonctions analytiques sur une surface de Riemann, d’où la définition de nouvelles classes de surfaces. Pour $\alpha =0$, on généralise la notion de fonction caractéristique de R. Nevanlinna, ce qui permet d’étendre les théorèmes du défaut de Frostman et de Valiron-Ahlfors.

Détail

DOI : 10.5802/aif.37