Lower bounds for the Dyadic Hilbert transform

Jaming, Philippe; Pozzi, Elodie; Wick, Brett D.

doi:10.5802/afst.1569

Jaming, Philippe ¹ ; Pozzi, Elodie ¹ ; Wick, Brett D.²

¹ Univ. Bordeaux, IMB, CNRS UMR 5251, 33400 Talence, France
² Department of Mathematics, Washington University – St. Louis, One Brookings Drive, St. Louis, MO 63130-4899, USA

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 27 (2018) no. 1, pp. 265-284

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Abstract (VO)
Résumé

In this paper, we seek lower bounds of the dyadic Hilbert transform (Haar shift) of the form ${∥Ш f∥}_{L^{2} (K)} \geq C (I, K) {∥f∥}_{L^{2} (I)}$ where $I$ and $K$ are two dyadic intervals and $f$ supported in $I$ . If $I \subset K$ , such bounds exist while in the other cases $K ⊊ I$ and $K \cap I = \emptyset$ such bounds are only available under additional constraints on the derivative of $f$ . In the later case, we establish a bound of the form ${∥Ш f∥}_{L^{2} (K)} \geq C (I, K) | {〈f〉}_{I} |$ where ${〈f〉}_{I}$ is the mean of $f$ over $I$ . This sheds new light on the similar problem for the usual Hilbert transform.

Dans cet article, nous établissons des bornes pour la transformée de Hilbert dyadique (Haar shift) de la forme ${∥Ш f∥}_{L^{2} (K)} \geq C (I, K) {∥f∥}_{L^{2} (I)}$ où $I$ et $K$ sont des intervalles dyadiques et $f$ est à support dans $I$ . Si $I \subset K$ de telles bornes existent sans condition supplémentaire sur $f$ alors que dans les cas $K ⊊ I$ et $K \cap I = \emptyset$ une telle borne n’existe que si on impose une condition sur la dérivée de $f$ . Dans le dernier cas nous établissons une borne de la forme ${∥Ш f∥}_{L^{2} (K)} \geq C (I, K) | {〈f〉}_{I} |$ où ${〈f〉}_{I}$ est la moyenne de $f$ sur $I$ . Ce travail permet ainsi une meilleure compréhension du problème similaire pour la transformée de Hilbert sur $ℝ$ .

Reçu le : 2016-06-02
Accepté le : 2016-10-16
Publié le : 2018-02-22

MR Zbl

DOI : 10.5802/afst.1569

Classification : 42B20
Keywords: Dyadic Hilbert transform, Haar Shift, BMO

Affiliations des auteurs :

Jaming, Philippe ¹ ; Pozzi, Elodie ¹ ; Wick, Brett D. ²

¹ Univ. Bordeaux, IMB, CNRS UMR 5251, 33400 Talence, France
² Department of Mathematics, Washington University – St. Louis, One Brookings Drive, St. Louis, MO 63130-4899, USA

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
AU  - Jaming, Philippe
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TI  - Lower bounds for the Dyadic Hilbert transform
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2018
SP  - 265
EP  - 284
VL  - 27
IS  - 1
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
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Jaming, Philippe; Pozzi, Elodie; Wick, Brett D. Lower bounds for the Dyadic Hilbert transform. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 27 (2018) no. 1, pp. 265-284. doi: 10.5802/afst.1569

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