Representing Analytic Cohomology Groups of Complex Manifolds

Lempert, László

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 21-38

Abstract (VO)

Consider a holomorphic vector bundle $L\to X$ and an open cover $𝔘=\{U_a:a\in A\}$ of $X$, parametrized by a complex manifold $A$. We prove that the sheaf cohomology groups $H^q(X,L)$ can be computed from the complex $C_{\mathrm{hol}}^{•}$ $(𝔘,L)$ of cochains ${\left(f_{a_0...a_q}\right)}_{a_0,...,a_q\in A}$ that depend holomorphically on the $a_j$, provided $S=\{(a,x)\in A\times X:x\in U_a\}$ is a Stein open subset of $A\times X$. The result is proved in the setting of Banach manifolds, and is applied to study representations on cohomology groups induced by a holomorphic action of a complex reductive Lie group on $L$.

Résumé

On considère un fibré vectoriel holomorphe $L\to X$ et un recouvrement ouvert $𝔘=\{U_a:a\in A\}$ de $X$, où $A$ est une variété complexe non singulière. On démontre alors que les groupes de cohomologie $H^q(X,L)$ sont isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe $C_{\mathrm{hol}}^{•}$ $(𝔘,L)$ des cochaînes ${\left(f_{a_0...a_q}\right)}_{a_0,...,a_q\in A}$ qui dépendent d’une façon holomorphe des $a_j$, à condition que $S=\{(a,x)\in A\times X:x\in U_a\}\subset A\times X$ soit un ouvert de Stein. Ce résultat est démontré dans le cadre des variétés de Banach. On finit en donnant une application à l’étude des opérations holomorphes d’un groupe réductif complexe sur $L$.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1440