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A compact manifold is called Bieberbach if it carries a flat Riemannian metric. Bieberbach manifolds are aspherical, therefore the supremum of their systolic ratio, over the set of Riemannian metrics, is finite by a fundamental result of M. Gromov. We study the optimal systolic ratio of compact -dimensional orientable Bieberbach manifolds which are not tori, and prove that it cannot be realized by a flat metric. We also highlight a metric that we construct on one type of such manifolds () which has interesting geometric properties: it is extremal in its conformal class and the systole is realized by “very many” geodesics.
Une variété compacte est appelée de Bieberbach si elle porte une métrique riemannienne plate. Les variétés de Bieberbach sont asphériques, par conséquent le supremum de leur quotient systolique, sur l’ensemble des métriques riemanniennes, est fini d’après un résultat fondamental de M. Gromov. On étudie le quotient systolique optimal des -variétés de Bieberbach compactes et orientables qui ne sont pas des tores, et on démontre qu’il n’est pas réalisé par une métrique plate. De plus, on met en évidence une métrique que l’on construit sur un type de telles variétés () qui a une géométrie intéressante : elle est extrêmale dans sa classe conforme et possède de « nombreuses » géodésiques systoliques.
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El Mir, Chady; Lafontaine, Jacques. The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 22 (2013) no. 3, pp. 623-648. doi: 10.5802/afst.1384
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