Sur une opérade ternaire liée aux treillis de Tamari

Chapoton, Frédéric¹ 

¹ Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1, Bâtiment Braconnier, 21 Avenue Claude Bernard, F-69622 Villeurbanne Cedex

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. 4, pp. 843-869

Résumé (VO)

On introduit une opérade anticyclique $\mathbf{V}$ définie par une présentation ternaire quadratique. On montre qu’elle admet une base indexée par les arbres binaires planaires. On relie cette construction à la famille des treillis de Tamari ${\left({\mathsf{Y}}_n\right)}_{n\ge 0}$ en construisant un isomorphisme entre $\mathbf{V}(2n+1)$ et le groupe de Grothendieck de la catégorie $mod{\mathsf{Y}}_n$ qui envoie la base de $\mathbf{V}(2n+1)$ sur les classes des modules projectifs et qui transforme la structure anticyclique de $\mathbf{V}$ en la transformation de Coxeter de la catégorie dérivée de $mod{\mathsf{Y}}_n$. La dualité de Koszul des opérades permet alors de calculer le polynôme caractéristique de cette transformation de Coxeter en utilisant une transformation de Legendre.

Abstract

We introduce an anticyclic operad $\mathbf{V}$ given by a ternary generator and a quadratic relation. We show that it admits a natural basis indexed by planar binary trees. We then relate this construction to the familly of Tamari lattices ${\left({\mathsf{Y}}_n\right)}_{n\ge 0}$ by defining an isomorphism between $\mathbf{V}(2n+1)$ and the Grothendieck group of the category $mod{\mathsf{Y}}_n$. This isomorphism maps the basis of $\mathbf{V}(2n+1)$ to the classes of projective modules and sends the anticyclic map of the operad $\mathbf{V}(2n+1)$ to the Coxeter transformation of the derived category of $mod{\mathsf{Y}}_n$. The Koszul duality theory for operads then allows us to compute the characteristic polynomial of the Coxeter transformation by a Legendre transform.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1326