Quotients de suites holonomes

Bellagh, Abdelaziz¹ ; Bézivin, Jean-Paul²

¹ Faculté de Mathématiques, Université des Sciences et de la Technologie Houari-Boumediène, BP.32, El-Alia, Bab-Ezzouar, 16111, Alger, Algèrie.
² Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N. Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. 1, pp. 135-166

Résumé (VO)

Soit $G$ un sous-groupe du groupe multiplicatif de $ℂ$, et $d\ge 1$. On note $G_d$ l’ensemble des éléments de $ℂ$ s’écrivant $w_1+\cdots +w_d$ avec $w_j\in G$ pour tout $j$. Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites de nombres complexes vérifiant des relations de récurrence à coefficients polynômes en la variable $n$ (suites holonomes), avec $v_n\ne 0$ pour $n$ assez grand. Dans cet article, nous nous intéressons au problème suivant  :

Soit $a_n=\frac{u_n}{v_n}$, on suppose que pour un entier $d\ge 1$, $a_n$ appartient à $G_d$ où $G$ est sous-groupe de type fini du groupe multiplicatif de $ℂ$.

A-t-on que la suite $a_n$ est récurrente linéaire ?

Dans ce qui suit, nous prouvons que dans quelques cas particuliers, la réponse est affirmative.

Abstract

(Quotient of holonomics sequences) For a subgroup $G$ of the multiplicative group of $ℂ$ and $d\ge 1$, let $G_d$ be the set of complex numbers such that there exists $w_j,j=1,\cdots ,d$ in $G$ with $z=w_1+\cdots +w_d$. Let $u_n$ and $v_n$ be sequences of complex numbers that verify linear recurrence relations with polynomials coefficients (holonomic sequences). Suppose that $v_n\ne 0$ for large $n$.

In this paper, we are interested in the following problem:

Let $a_n=\frac{u_n}{v_n}$, and suppose that for an integer $d\ge 1$, $a_n$ belongs to $G_d$ for a finitely generated subgroup $G$ of the multiplicative group of $ℂ$.

Does it follows that $a_n$ is a linear recurrent sequence ?

We prove that in some particular cases, the answer to this question is positive.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1288