An elementary proof of the Briançon-Skoda theorem

Sznajdman, Jacob¹

¹ Mathematical Sciences, Chalmers University of Technology and Göteborg University, S-412 96 Göteborg Sweden

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 675-685

Abstract (VO)

We give an elementary proof of the Briançon-Skoda theorem. The theorem gives a criterionfor when a function $\phi$ belongs to an ideal $I$ of the ring of germs of analytic functions at $0\in {ℂ}^n$; more precisely, the ideal membership is obtained if a function associated with $\phi$ and $I$ is locally square integrable. If $I$ can be generated by $m$ elements,it follows in particular that $\overline{I^{min(m,n)}}\subset I$, where $\overline{J}$ denotes the integral closure of an ideal $J$.

Résumé

Nous proposons une démonstration élémentaire du théorème de Briançon-Skoda. Ce théorème donne un critère d’appartenance d’une fonction $\phi$ à un idéal $I$ de l’anneau des germes de fonctions holomorphes en $0\in {ℂ}^n$  ; plus précisement, l’appartenance est établie sous l’hypothèse qu’une fonction dépendante de $\phi$ et $I$ soit de carré localement sommable. En partiulier, si $I$ est engendré par m éléments, alors $\overline{I^{min(m,n)}}\subset I$, où $\overline{J}$ dénote la clôture intégrale d’un idéal $J$.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1262