Sur les résidus de Baum-Bott

Dia, El Hadji Malick¹ 

¹ Faculté des Sciences et Technologies de l’Education et de la Formation BP 5036, Dakar-Fann, Sénégal

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 363-403

Résumé (VO)

0n se donne une variété complexe $V$, compacte, de dimension complexe $n$, un champ de vecteurs $v$ holomorphe sur $V$, un fibré vecoriel $E$ de rang $r$ au dessus de $V$ et une $ℂ$-action ${\theta }_v$ sur $E$. Il est bien connu que si $v$ n’a pas de singularité, tous les nombres de Chern $c_I\left(E\right)⌢\left[V\right]$ sont nuls ($\left|I\right|=n$). Si $v$ a des singularités, Bott a démontré que ces nombres de Chern se localisent près de ces singularités donnant lieu à des résidus . Ces résidus ont été calculés d’abord par Bott dans le cas d’une singularité isolée non dégénérée, ensuite par Bott dans le cas d’une sous-variété non dégénérée et enfin, par Baum et Bott dans le cas d’une singularité isolée éventuellement dégénérée. Ce travail fournit une généralisation des résultats précédents en étudiant, sous réserve de quelques hypothèses simplificatrices, le cas d’une sous-variété holomorphe $W$, composante non-singulière du lieu singulier de $v$, éventuellement dégénérée. Quelques exemples sont donnés.

Abstract

Given a compact complex manifold $V$ of complex dimension $n$, a holomorphic vector-fields $v$ on $V$, a vector bundle $E$ of rank $r$ on $V$, and a $ℂ$-action ${\theta }_v$ on $E$. It is well known that if $v$ has not singularity, all the Chern numbers $c_I\left(E\right)⌢\left[V\right]$ are zero ( $\left|I\right|=n$). If $v$ has singularities, and if there exists a $ℂ$-action ${\theta }_v$ on $E$, Bott has proved that the Chern numbers “localize” near these singularities, giving residues. These residues are computed first, by Bott, in the case of a non degenerate isolated point, then, by Bott, in the case of a non degenerate holomorphic submanifold, at last, by Baum-Bott, in the case of a degenerate isolated point. This work gives a generalization of these results by studying the case of a degenerate holomorphic submanifold. Examples are given.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1247