Résolution des fibrés généraux stables de rang $2$ sur ${\mathbb{P}}^3$ de classes de Chern $c_1=-1,c_2=2p\ge 6$ : I

Rahavandrainy, Olivier¹ 

¹ Département de Mathématiques U F R Sciences et Techniques 6, Avenue Le Gorgeu - C.S. 93837 29238 Brest Cedex 3

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 231-267

Résumé (VO)

On considère l’espace de modules $M(c_1,c_2)$ des fibrés stables de rang $2$ sur ${\mathbb{P}}_k^3$, de classes de Chern $c_1,c_2$, $k$ étant un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. Si ($c_1=0,c_2>0$) ou ($c_1=-1,c_2=2p\ge 6$), on sait ([7], [9]) que $M(c_1,c_2)$ a une composante irréductible dont le point générique $ℱ(c_1,c_2)$ a la cohomologie naturelle. Nous avons calculé ([16]) la résolution minimale de $ℱ(0,c_2)$. Dans cet article, nous voulons déterminer celle de $ℱ(-1,c_2)$ si ${\displaystyle c_2>\frac{(v+2)(2v^2+3v-1)}{6v+7},}$ où $v$ est le plus petit entier tel que $h^0\left(ℱ\left(v\right)\right)>0$. Par un procédé standard rappelé dans [16], on se ramène à des problèmes de rang maximum qui sont traités par la méthode d’Horace ([11]).

Abstract

Let $M(c_1,c_2)$ be the moduli space of stable vector bundles of rank $2$ on ${\mathbb{P}}_k^3$, with Chern classes $c_1,c_2$, where $k$ is an algebraically closed field of arbitrary characteristic. If either ($c_1=0,c_2>0$) or ($c_1=-1,c_2=2p\ge 6$), it is shown in [7] and [9] that $M(c_1,c_2)$ has an irreducible component $\mathrm{Ir}(c_1,c_2)$ and the generic point $ℱ(c_1,c_2)$ of $\mathrm{Ir}(c_1,c_2)$ has a natural cohomology. In [16] we calculate the minimal free resolution of $ℱ(0,c_2)$. We want to determine, in this paper, the $ℱ(-1,c_2)$’s one if ${\displaystyle c_2>\frac{(v+2)(2v^2+3v-1)}{6v+7},}$ where $v$ is the least integer such that $h^0\left(ℱ\left(v\right)\right)>0$. By standard method ([16]), we can reduce our problem to rank maximal problems and use the “méthode d’Horace” ([11]).

Détail

DOI : 10.5802/afst.1242