Kummer theory for products of one-dimensional tori

[La théorie de Kummer pour les produits de tores de dimension un]

Perissinotto, Flavio¹ ; Perucca, Antonella¹

¹ Department of Mathematics, University of Luxembourg, 6 av. de la Fonte, 4364 Esch-sur-Alzette, Luxembourg

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2023), pp. 109-119

Abstract (VO)

Let $T$ be a finite product of one-dimensional tori defined over a number field $K$. We consider the torsion-Kummer extension $K(T\left[nt\right],\frac{1}{n}G)$, where $n,t$ are positive integers and $G$ is a finitely generated group of $K$-points on $T$. We show how to compute the degree of $K(T\left[nt\right],\frac{1}{n}G)$ over $K$ and how to determine whether $T$ is split over such an extension. If $K=\mathbb{Q}$, then we may compute at once the degree of the above extensions for all $n$ and $t$.

Résumé

Soit $T$ un produit fini de tores de dimension un sur un corps de nombres $K$. Nous considérons l’extension de torsion-Kummer $K(T\left[nt\right],\frac{1}{n}G)$, où $n,t$ sont des entiers strictement positifs et $G$ un groupe de type fini engendré par des $K$-points de $T$. Nous montrons comment l’on peut calculer le degré de $K(T\left[nt\right],\frac{1}{n}G)$ sur $K$. Nous montrons également comment déterminer si $T$ est déployé sur une telle extension. Lorsque $K=\mathbb{Q}$, nous pouvons calculer en une seule fois les degrés de toutes les extensions ci-dessus pour tous les $n$ et tous les $t$.

Détail

Publié le : 2023-06-15

DOI : 10.5802/pmb.51

Classification : 20G30, 11Y40
Keywords: tori, one-dimensional tori, Kummer theory, number field.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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