Sur les minima des formes hamiltoniennes binaires définies positives

Chenevier, Gaëtan¹ ; Paulin, Frédéric¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, UMR 8628 CNRS, Université Paris-Saclay, F-91405 Orsay, France

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2020), pp. 5-25

Résumé (VO)

Étant donné un ordre maximal $𝒪$ d’une algèbre de quaternions rationnelle définie $A$ de discriminant $D_A$, nous montrons que le minimum des formes hamiltoniennes binaires sur $𝒪$, définies positives et de discriminant $-1$, est $\sqrt{D_A}$. Lorsque la différente de $𝒪$ est principale, nous explicitons une forme atteignant cette valeur, et lorsque $𝒪$ est principal, nous donnons la liste exacte des formes atteignant cette valeur. Nous donnons des critères et des algorithmes pour déterminer quand la différente de $𝒪$ est principale.

Abstract

Let $A$ be a definite quaternion algebra over $\mathbb{Q}$, with discriminant $D_A$, and $𝒪$ a maximal order of $A$. We show that the minimum of the positive definite Hamiltonian binary forms over $𝒪$ with discrimiminant $-1$ is $\sqrt{D_A}$. When the different of $𝒪$ is principal, we provide an explicit form representing this minimum, and when $𝒪$ is principal, we give the list of the equivalence classes of all such forms. We also give criteria and algorithms to determine when the different of $𝒪$ is principal.

Détail

Publié le : 2021-05-12

DOI : 10.5802/pmb.39

Classification : 11E39, 11R52, 11L05, 16H20, 11E20
Mots-clés : Quaternion algebra, binary Hamiltonian form, maximal order, Euclidean lattice

Licence : CC-BY-ND 4.0

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