Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués

Bertrand-Mathis, Anne¹

¹ Université de Poitiers Mathématiques BP 30179 86962 Futuroscope cedex, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 24 (2012) no. 1, pp. 57-72

Résumé (VO)

Soit $\beta$ un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier $n$ assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de $\beta$ et dont ${\beta }^n$ est valeur propre.

Soit $\beta =a_1/\beta +a_2/{\beta }^2+\cdots +a_n/{\beta }^n+\cdots$ le $\beta$-développement de $\beta$ ; si $\beta$ est un nombre de Pisot, alors la suite ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ est périodique après un certain rang $n_0$ (pour $n\ge n_0$, $a_{n+k}=a_n$) et le polynôme

$$X^{n_0+k}-(a_1{X}^{n_0+k-1}+\cdots +a_{n_0+k})-(X^{n_0}-(a_1{X}^{n_0}+\cdots +a_{n_0}))$$

est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers $n$ tels que le polynôme minimal de ${\beta }^n$ est égal à son polynôme de Parry.

Abstract

We show that given a Pisot number $\beta$, for any integer $n$ large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of $\beta$, and the matrix admits ${\beta }^n$ for eingenvalue.

Let $\beta =a_1/\beta +a_2/{\beta }^2+\cdots +a_n/{\beta }^n+\cdots$ be the $\beta$-expansion of $\beta$. For any Pisot number $\beta$, the sequence ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ is ultimately periodic i.e., for $n\ge n_0$, $a_{n+k}=a_n$, and we call Parry polynomial the polynomial

$$X^{n_0+k}-(a_1{X}^{n_0+k-1}+\cdots +a_{n_0+k})-(X^{n_0}-(a_1{X}^{n_0}+\cdots +a_{n_0})).$$

We also show that there is a relatively dense set of integers $n$ such that the minimal polynomial of ${\beta }^n$ is equal to its Parry polynomial.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.788

Classification : 11C99, 15A18, 15A36, 15A48, 37B10
Mots-clés : Primitive matrices, Pisot Numbers, numeration, symbolic dynamics.