Sur les corps de Hilbert-Speiser

Herreng, Thomas¹ 

¹ LMNO, BP 5186 Université de Caen 14032 Caen Cedex, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 767-778

Résumé (VO)

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$. On trouve par exemple que $\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)$ est de Hilbert-Speiser en $p=2$ si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers $p$ pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en $p$ et on donne également une condition quand le corps est réel.

Abstract

A number field is called a Hilbert-Speiser field for a prime number $p$ if each tamely ramified finite abelian extension of degree $p$ admits a normal integral basis. A number field is called a Hilbert-Speiser field if it’s Hilbert-Speiser for all primes $p$. It’s well known that $\mathbb{Q}$ is such a field. In an article [3] written in 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav showed that $\mathbb{Q}$ is the only Hilbert-Speiser field. We give here a necessary and sufficient condition for a field to be Hilbert-Speiser for $p=2$. For example $\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)$ is a Hilbert-Speiser field for $p=2$ if and only if its class number is one. Then generalizing works of Conrad and Replogle [1] we obtain prime numbers $p$ for which an imaginary abelian field is a Hilbert-Speiser field for $p$, and we also give a criterion for real abelian fields.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.519