The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2

Hofer, Roswitha¹ ; Larcher, Gerhard¹

¹ Institute of Financial Mathematics and Applied Number Theory, Johannes Kepler University Linz Altenbergerstraße 69, 4040 Linz, Austria

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 999-1023

Abstract (VO)

Mordechay B. Levin in [4] has constructed a number $\alpha$ which is normal in base 2, and such that the sequence ${\left\{2^n\alpha \right\}}_{n=0,1,2,...}$ has very small discrepancy $D_N$. Indeed we have $N·D_N=𝒪\left({(logN)}^2\right)$. That means, that $\alpha$ is normal of extremely high quality. In this paper we show that this estimate is best possible, i.e., $N·D_N\ge c·{(logN)}^2$ for infinitely many $N$.

Résumé

Dans [4], Mordechay B. Levin a construit un nombre $\alpha$ qui est normal en base 2 et tel que la suite ${\left\{2^n\alpha \right\}}_{n=0,1,2,...}$ a une très faible discrépance $D_N$. En effet, nous avons $N·D_N=𝒪\left({(logN)}^2\right)$. Cela signifie que $\alpha$ est un nombre normal de très haute qualité. Dans cet article, nous montrons que cette estimation est la meilleure possible, c’est-à-dire que $N·D_N\ge c·{(logN)}^2$ pour une infinité de $N$.

Détail

Reçu le : 2022-09-19
Révisé le : 2022-12-13
Accepté le : 2022-12-14
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1271

Classification : 11K16, 11K38
Keywords: normal numbers, Levin’s number, uniform distribution of sequences, discrepancy

Licence : CC-BY-ND 4.0

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