A geometric approach to the Cohen-Lenstra heuristics

Landesman, Aaron¹

¹ Simons Building (Building 2), Room 106 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139-4307, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 947-997

Abstract (VO)

We give a new geometric description of when an element of the class group of a quadratic field, thought of as a quadratic form $q$, is $n$-torsion. We show that $q$ corresponds to an $n$-torsion element if and only if there exists a degree $n$ polynomial whose resultant with $q$ is $\pm 1$. This is motivated by a more precise geometric parameterization which directly connects torsion in class groups of quadratic fields to Selmer groups of singular genus $1$ curves.

Résumé

Nous donnons une nouvelle description géométrique du fait qu’un élément du groupe de classes d’un corps quadratique, vu comme une forme quadratique $q$, soit de $n$-torsion. Nous montrons que $q$ correspond à un élément de $n$-torsion si et seulement s’il existe un polynôme de degré $n$ dont le résultant avec $q$ est $\pm 1$. Ceci est motivé par une paramétrisation géométrique plus précise, qui donne un lien direct entre la torsion dans les groupes de classes de corps quadratiques et certains groupes de Selmer de courbes de genre $1$ singulières.

Détail

Reçu le : 2022-09-16
Révisé le : 2023-02-10
Accepté le : 2023-03-03
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1270

Classification : 11R29, 11R11
Keywords: Cohen-Lenstra heuristics, geometric parameterization, class groups, quadratic fields

Licence : CC-BY-ND 4.0

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