Abelian geometric fundamental groups for curves over a $p$-adic field

Gazaki, Evangelia¹ ; Hiranouchi, Toshiro²

¹ Department of Mathematics, University of Virginia 221 Kerchof Hall, 141 Cabell Dr., Charlottesville, VA, 22904, USA
² Department of Basic Sciences, Graduate School of Engineering, Kyushu Institute of Technology 1-1 Sensui-cho, Tobata-ku, Kitakyushu-shi, Fukuoka 804-8550, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 905-946

Abstract (VO)

For a curve $X$ over a $p$-adic field $k$, using the class field theory of $X$ due to S. Bloch and S. Saito we study the abelian geometric fundamental group ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$ of $X$. In particular, we investigate a subgroup of ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$ which classifies the geometric and abelian coverings of $X$ which allow possible ramification over the special fiber of the model of $X$. Under the assumptions that $X$ has a $k$-rational point, $X$ has good reduction and its Jacobian variety has good ordinary reduction, we give some upper and lower bounds of this subgroup of ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$.

Résumé

Pour une courbe $X$ sur un corps $p$-adique $k$, nous étudions le groupe fondamental géométrique abélien ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$ de $X$ en utilisant la théorie du corps de classes de $X$ due à S. Bloch et S. Saito. En particulier, nous étudions un sous-groupe de ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$ qui classifie les revêtements géométriques et abéliens de $X$ admettant une ramification au-dessus de la fibre spéciale du modèle de $X$. En supposant que $X$ a un point rationnel sur $k$, $X$ a bonne réduction et sa jacobienne a bonne réduction ordinaire, nous donnons un encadrement de ce sous-groupe de ${\pi }_1^{\mathrm{ab}}{\left(X\right)}^{\mathrm{geo}}$.

Détail

Reçu le : 2022-09-09
Accepté le : 2023-04-28
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1269

Classification : 11G45, 11G10, 11G20
Keywords: Class field theory, Fundamental groups, and Elliptic curves

Licence : CC-BY-ND 4.0

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