Mahler measure of $P_d$ polynomials

Mehrabdollahei, Mahya¹

¹ IMJ-PRG, Sorbonne Université 4 Pl. Jussieu, Paris, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 795-817

Abstract (VO)

This article investigates the Mahler measure of a family of 2-variate polynomials, denoted by $P_d$, for $d\ge 1$, unbounded in both degree and genus. By using a closed formula for the Mahler measure [13], we are able to compute $m\left(P_d\right)$, for arbitrary $d$, as a sum of the values of dilogarithm at special roots of unity. We prove that $m\left(P_d\right)$ converges, and the limit is proportional to $\zeta \left(3\right)$, where $\zeta$ is the Riemann zeta function. The proof we give is computational and based on the estimation of the error of Riemann sums of a bivariate function. We describe a second possible shorter proof based on a conjectural generalization of the theorem of Boyd–Lawton and a result of D’Andrea and Lalín [11].

Résumé

Nous étudions la mesure de Mahler d’une famille de polynômes à deux variables, désignée par $P_d$ avec $d\ge 1$, non bornée en degré et en genre. En utilisant une formule de forme close de la mesure de Mahler [13], nous sommes capables de calculer $m\left(P_d\right)$, avec $d$ arbitraire, comme une somme des valeurs du dilogarithme en certaines racines de l’unité. Nous prouvons que $m\left(P_d\right)$ converge et que la limite est un multiple de $\zeta \left(3\right)$, où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann. La preuve que nous donnons est computationnelle et est basée sur l’estimation de l’erreur des sommes de Riemann d’une fonction bivariée. Nous exposons une deuxième preuve possible et plus courte basée sur une généralisation conjecturée du théorème de Boyd–Lawton et sur un résultat de D’Andrea et Lalín [11].

Détail

Reçu le : 2021-02-15
Révisé le : 2022-06-09
Accepté le : 2022-07-04
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1264

Classification : 11R06
Keywords: Mahler measure, polynomial, exact polynomial, Bloch–Wigner dilogarithm, Riemann sums

Licence : CC-BY-ND 4.0

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