Sandpile groups of supersingular isogeny graphs

Munier, Nathanaël¹ ; Shnidman, Ari²

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse 1 R.3 Université Paul Sabatier 118 Rte de Narbonne 31400 Toulouse, France
² Einstein Institute of Mathematics The Hebrew University of Jerusalem Edmund J. Safra Campus Jerusalem 9190401, Israel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 751-774

Abstract (VO)

Let $p$ and $q$ be distinct primes, and let $X_{p,q}$ be the $(q+1)$-regular graph whose nodes are supersingular elliptic curves over ${\overline{𝔽}}_p$ and whose edges are $q$-isogenies. For fixed $p$, we compute the distribution of the $\ell$-Sylow subgroup of the sandpile group (i.e. Jacobian) of $X_{p,q}$ as $q\to \infty$. We find that the distribution disagrees with the Cohen–Lenstra heuristic in this context. Our proof is via Galois representations attached to modular curves. As a corollary, we give an upper bound on the probability that the Jacobian is cyclic, which we conjecture to be sharp.

Résumé

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, et soit $X_{p,q}$ le graphe $(q+1)$-régulier dont les nœuds sont les courbes elliptiques supersingulières sur ${\overline{𝔽}}_p$ et dont les arêtes sont les $q$-isogénies. Pour une valeur de $p$ fixée, la distribution des sous-groupes de $\ell$-Sylow du groupe jacobien de $X_{p,q}$ est donnée pour $q\to \infty$. Nous constatons que cette distribution ne correspond pas à l’heuristique de Cohen–Lenstra dans ce contexte. La preuve que nous donnons utilise des représentations de Galois reliées à des courbes modulaires. Comme corollaire, nous donnons une borne supérieure sur la probabilité que le groupe jacobien soit cyclique, que nous conjecturons être optimale.

Détail

Reçu le : 2022-05-21
Accepté le : 2023-01-21
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1262

Classification : 05C48, 11R29
Keywords: Graphs, Jacobians, isogenies, modular curves

Licence : CC-BY-ND 4.0

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