Computing the Cassels-Tate Pairing on the Selmer group of a Richelot Isogeny

Yan, Jiali

doi:10.5802/jtnb.1259

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Computing the Cassels-Tate Pairing on the Selmer group of a Richelot Isogeny

Yan, Jiali ¹

¹ 95, Finborough Road SW10 9DU, London, UK

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 659-674

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Abstract (VO)
Résumé

In this paper, we study the Cassels-Tate pairing on Jacobians of genus two curves admitting a special type of isogenies called Richelot isogenies. Let $ϕ : J \to \hat{J}$ be a Richelot isogeny between two Jacobians of genus two curves. We give an explicit formula as well as a practical algorithm to compute the Cassels-Tate pairing on ${Sel}^{\hat{ϕ}} (\hat{J}) \times {Sel}^{\hat{ϕ}} (\hat{J})$ where $\hat{ϕ}$ is the dual isogeny of $ϕ$ . The formula and algorithm are under the simplifying assumption that all two-torsion points on $J$ are defined over $K$ . We also include a worked example demonstrating we can turn the descent by Richelot isogeny into a $2$ -descent via computing the Cassels-Tate pairing.

Dans cet article, nous étudions l’accouplement de Cassels-Tate sur les jacobiennes des courbes de genre $2$ possédant une isogénie dite de Richelot. Soit $ϕ : J \to \hat{J}$ une isogénie de Richelot entre les jacobiennes de deux courbes de genre $2$ . Nous donnons une formule explicite et un algorithme pratique pour calculer l’accouplement de Cassels-Tate sur ${Sel}^{\hat{ϕ}} (\hat{J}) \times {Sel}^{\hat{ϕ}} (\hat{J})$ où $\hat{ϕ}$ est l’isogénie duale de $ϕ$ . Ces résultats sont obtenus sous l’hypothèse simplificatrice que tous les points de $2$ -torsion sur $J$ sont définis sur $K$ . Nous donnons un exemple explicite qui montre que nous pouvons transformer la descente par l’isogénie de Richelot en $2$ -descente en calculant l’accouplement de Cassels-Tate.

Reçu le : 2022-01-23
Révisé le : 2023-07-05
Accepté le : 2023-07-12
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1259

Classification : 11N56, 14G42
Keywords: Genus 2 Curve, Cassels-Tate Pairing, Richelot isogeny

Affiliations des auteurs :

Yan, Jiali ¹

¹ 95, Finborough Road SW10 9DU, London, UK

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2023
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Yan, Jiali. Computing the Cassels-Tate Pairing on the Selmer group of a Richelot Isogeny. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 659-674. doi: 10.5802/jtnb.1259

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