Asymptotic behavior of class groups and cyclotomic Iwasawa theory of elliptic curves

Hiranouchi, Toshiro¹ ; Ohshita, Tatsuya²

¹ Department of Basic Sciences Graduate School of Engineering Kyushu Institute of Technology 1-1 Sensui-cho, Tobata-ku, Kitakyushu-shi Fukuoka 804-8550, Japan
² Department of Mathematics Cooperative Faculty of Education Gunma University, Maebashi Gunma 371-8510, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 2, pp. 591-657

Abstract (VO)

In this article, we study a relation between certain quotients of ideal class groups and the cyclotomic Iwasawa module $X_{\infty }$ of the Pontrjagin dual of the fine Selmer group of an elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$. We consider the Galois extension field $K_n^E$ of $\mathbb{Q}$ generated by coordinates of all $p^n$-torsion points of $E$, and introduce a quotient $A_n^E$ of the $p$-Sylow subgroup of the ideal class group of $K_n^E$ cut out by the modulo $p^n$ Galois representation $E\left[p^n\right]$. We describe the asymptotic behavior of $A_n^E$ by using the Iwasawa module $X_{\infty }$. In particular, under certain conditions, we obtain an asymptotic formula as Iwasawa’s class number formula on the order of $A_n^E$ by using Iwasawa’s invariants of $X_{\infty }$.

Résumé

Dans cet article, nous étudions une relation entre certains quotients de groupes des classes d’idéaux et le module d’Iwasawa cyclotomique $X_{\infty }$ du dual de Pontrjagin du groupe de Selmer fin d’une courbe elliptique $E$ sur $\mathbb{Q}$. Nous considérons l’extension galoisienne $K_n^E$ de $\mathbb{Q}$ engendrée par les coordonnées des points de $p^n$-torsion de $E$ et introduisons le quotient $A_n^E$ du $p$-Sylow du groupe des classes d’idéaux de $K_n^E$ découpé par la représentation galoisienne modulo $p^n$ sur le groupe $E\left[p^n\right]$. Nous décrivons le comportement asymptotique des $A_n^E$ en utilisant le module d’Iwasawa $X_{\infty }$. En particulier, sous certaines conditions, nous obtenons une formule asymptotique à la Iwasawa pour l’ordre de $A_n^E$ en utilisant les invariants d’Iwasawa de $X_{\infty }$.

Détail

Reçu le : 2022-05-13
Révisé le : 2022-10-20
Accepté le : 2022-11-14
Publié le : 2023-10-10

DOI : 10.5802/jtnb.1258

Classification : 11R29, 11G05, 11R23
Keywords: class number, elliptic curve, Iwasawa theory

Licence : CC-BY-ND 4.0

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