Sur le biais d’une loi de probabilité relative aux entiers friables

Tenenbaum, Gérald¹

¹ Institut Élie Cartan Université de Lorraine BP 70239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 2, pp. 481-493

Résumé (VO)

La loi de probabilité standard sur l’ensemble $S(x,y)$ des entiers $y$-friables n’excédant pas $x$ assigne à chaque entier friable $n$ un poids proportionnel à $1/n^{\alpha }$, où $\alpha =\alpha (x,y)$ est le point-selle de l’intégrale de Laplace inverse pour $\Psi (x,y):=\left|S\right(x,y\left)\right|$. Cette loi présente un biais structurel dans la mesure où elle charge des entiers $>x$. Nous proposons une mesure quantitative de ce biais et mettons en évidence une répartition gaussienne associée.

Abstract

The standard probability law on the set $S(x,y)$ of $y$-friable integers not exceeding $x$ assigns to each friable integer $n$ a weight proportional to $1/n^{\alpha }$, where $\alpha =\alpha (x,y)$ is the saddle-point of the inverse Laplace integral for $\Psi (x,y):=\left|S\right(x,y\left)\right|$. This law presents a structural bias inasmuch it weights integers $>x$. We propose a quantitative measure of this bias and exhibit a related Gaussian distribution.

Détail

Reçu le : 2022-02-11
Révisé le : 2022-05-04
Accepté le : 2022-05-21
Publié le : 2023-10-10

DOI : 10.5802/jtnb.1253

Classification : 11N25, 11N37
Mots-clés : Entiers friables, entiers sans grand facteur premier, méthode du col, équations différentielles aux différences, modèles probabilistes, friable integers, integers without small prime factors, smooth numbers, saddle-point method, delay-differential equations, probabilistic models.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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