Approximation of values of algebraic elements over the ring of power sums

Fuchs, Clemens¹ ; Heintze, Sebastian²

¹ University of Salzburg, Department of Mathematics, Hellbrunnerstr. 34, A-5020 Salzburg, Austria
² Graz University of Technology, Institute of Analysis and Number Theory, Steyrergasse 30/II, A-8010 Graz, Austria

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 1, pp. 63-86

Abstract (VO)

Let $\mathbb{Q}{ℰ}_{\mathbb{Z}}$ be the set of power sums whose characteristic roots belong to $\mathbb{Z}$ and whose coefficients belong to $\mathbb{Q}$, i.e. $G:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ satisfies

$$G\left(n\right)=G_n=b_1{c}_1^n+\cdots +b_h{c}_h^n$$

with $c_1,\cdots ,c_h\in \mathbb{Z}$ and $b_1,\cdots ,b_h\in \mathbb{Q}$. Furthermore, let $f\in \mathbb{Q}[x,y]$ be absolutely irreducible and $\alpha :\mathbb{N}\to \overline{\mathbb{Q}}$ be a solution $y$ of $f(G_n,y)=0$, i.e. $f(G_n,\alpha \left(n\right))=0$ identically in $n$. Then we will prove under suitable assumptions a lower bound, valid for all but finitely many positive integers $n$, for the approximation error if $\alpha \left(n\right)$ is approximated by rational numbers with bounded denominator. After that we will also consider the case that $\alpha$ is a solution of

$$f(G_n^{\left(0\right)},\cdots ,G_n^{\left(d\right)},y)=0,$$

i.e. defined by using more than one power sum and a polynomial $f$ satisfying some suitable conditions. This extends results of Bugeaud, Corvaja, Luca, Scremin and Zannier.

Résumé

Soit $\mathbb{Q}{ℰ}_{\mathbb{Z}}$ l’ensemble des sommes de puissances dont les racines caractéristiques sont dans $\mathbb{Z}$ et dont les coefficients sont dans $\mathbb{Q}$, i.e. les éléments $G:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ de $\mathbb{Q}{ℰ}_{\mathbb{Z}}$ sont de la forme

$$G\left(n\right)=G_n=b_1{c}_1^n+\cdots +b_h{c}_h^n$$

avec $c_1,\cdots ,c_h\in \mathbb{Z}$ et $b_1,\cdots ,b_h\in \mathbb{Q}$. De plus, soit $f\in \mathbb{Q}[x,y]$ un polynôme absolument irréductible et soit $\alpha :\mathbb{N}\to \overline{\mathbb{Q}}$ une solution $y$ de $f(G_n,y)=0$, i.e. la fonction $f(G_n,\alpha \left(n\right))$ est identiquement nulle en $n$. Si $\alpha \left(n\right)$ est approximé par des nombres rationnels à dénominateur borné, nous établissons, sous conditions appropriées, une borne inférieure pour l’erreur d’approximation qui est valable pour tous les $n$ sauf un nombre fini. Nous considérons ensuite le cas où $\alpha$ est une solution de l’équation

$$f(G_n^{\left(0\right)},\cdots ,G_n^{\left(d\right)},y)=0,$$

i.e. $\alpha$ est défini à l’aide de plus d’une somme de puissances et d’un polynôme $f$ satisfaisant à des conditions appropriées. Ce résultat est une extension des résultats de Bugeaud, Corvaja, Luca, Scremin et Zannier.

Détail

Reçu le : 2021-10-19
Révisé le : 2022-06-24
Accepté le : 2022-07-02
Publié le : 2023-05-04

DOI : 10.5802/jtnb.1247

Classification : 11B37, 11J68, 11J87
Keywords: Power sum, Diophantine approximation, Subspace theorem

Licence : CC-BY-ND 4.0

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