Geodesic
Curves of fixed gonality with many rational points
Vermeulen, Floris1
1 KU Leuven, Department of Mathematics, Celestijnenlaan 200B, 3001 Leuven, Belgium
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 1, pp. 135-149

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Given an integer γ≥2 and an odd prime power q we show that for every large genus g there exists a non-singular curve C defined over 𝔽 q of genus g and gonality γ and with exactly γ(q+1) 𝔽 q -rational points. This is the maximal number of rational points possible. This answers a recent conjecture by Faber–Grantham. Our methods are based on curves on toric surfaces and Poonen’s work on squarefree values of polynomials.

Étant donné un entier γ≥2 et une puissance q d’un nombre premier impair, nous montrons que pour chaque genre g suffisamment grand, il existe une courbe C définie sur 𝔽 q , non singulière, de genre g et de gonalité γ, telle que son nombre de points rationnels est exactement γ(q+1), c’est-à-dire le maximal possible, démontrant ainsi une conjecture récente de Faber-Grantham. Les méthodes que nous employons sont en lien avec l’étude des courbes sur les surfaces toriques et avec les travaux de Poonen sur les valeurs sans facteur carré de polynômes.

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DOI : 10.5802/jtnb.1240
Classification : 11G20, 14G05, 14G15, 14M25
Keywords: Curves over finite fields, rational points, gonality, toric surfaces

Vermeulen, Floris 1

1 KU Leuven, Department of Mathematics, Celestijnenlaan 200B, 3001 Leuven, Belgium
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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