Geodesic
Badly approximable numbers, Kronecker’s theorem, and diversity of Sturmian characteristic sequences
Badziahin, Dmitry1 ; Shallit, Jeffrey2
1 School of Mathematics and Statistics University of Sydney NSW 2006 Australia
2 School of Computer Science University of Waterloo Waterloo, ON N2L 3G1 Canada
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 1, pp. 1-15

Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam

We give an optimal version of the classical “three-gap theorem” on the fractional parts of nθ, in the case where θ is an irrational number that is badly approximable. As a consequence, we deduce a version of Kronecker’s inhomogeneous approximation theorem in one dimension for badly approximable numbers. We apply these results to obtain an improved measure of sequence diversity for characteristic Sturmian sequences, where the slope is badly approximable.

Nous donnons une version optimale du théorème classique des “trois distances” concernant les parties fractionnaires de nθ, dans le cas où θ est un nombre irrationnel qui est mal approchable. Comme conséquence, nous obtenons une version du théorème d’approximation inhomogène de Kronecker, en une dimension, pour les nombres mal approchables. Nous appliquons ces résultats à l’obtention d’une mesure améliorée de la “diversité” des suites sturmiennes caractéristiques dont la pente est mal approchable.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.1236
Classification : 11A55, 11J20, 11J70, 37B10, 11J71
Keywords: badly approximable number, bounded partial quotients, continued fraction, Kronecker’s theorem, Sturmian characteristic sequence, three-gap theorem, measure of diversity

Badziahin, Dmitry 1 ; Shallit, Jeffrey 2

1 School of Mathematics and Statistics University of Sydney NSW 2006 Australia
2 School of Computer Science University of Waterloo Waterloo, ON N2L 3G1 Canada
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{JTNB_2023__35_1_1_0,
     author = {Badziahin, Dmitry and Shallit, Jeffrey},
     title = {Badly approximable numbers, {Kronecker{\textquoteright}s} theorem, and diversity of {Sturmian} characteristic sequences},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {1--15},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {35},
     number = {1},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/jtnb.1236},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.5802/jtnb.1236/}
}
TY  - JOUR
AU  - Badziahin, Dmitry
AU  - Shallit, Jeffrey
TI  - Badly approximable numbers, Kronecker’s theorem, and diversity of Sturmian characteristic sequences
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2023
SP  - 1
EP  - 15
VL  - 35
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.5802/jtnb.1236/
DO  - 10.5802/jtnb.1236
LA  - en
ID  - JTNB_2023__35_1_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Badziahin, Dmitry
%A Shallit, Jeffrey
%T Badly approximable numbers, Kronecker’s theorem, and diversity of Sturmian characteristic sequences
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2023
%P 1-15
%V 35
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.5802/jtnb.1236/
%R 10.5802/jtnb.1236
%G en
%F JTNB_2023__35_1_1_0
Badziahin, Dmitry; Shallit, Jeffrey. Badly approximable numbers, Kronecker’s theorem, and diversity of Sturmian characteristic sequences. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 1, pp. 1-15. doi: 10.5802/jtnb.1236

Cité par Sources :