Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of ${ℝ}^n$

Joseph, Elio¹

¹ 10 rue de Paris 91 400 Saclay, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 827-850.

Abstract (VO)

This paper uses W. M. Schmidt’s idea formulated in 1967 to generalise the classical theory of Diophantine approximation to subspaces of ${ℝ}^n$. Given two subspaces of ${ℝ}^n$, $A$ and $B$ of respective dimensions $d$ and $e$, with $d+e⩽n$, the proximity between $A$ and $B$ is measured by $t=min(d,e)$ canonical angles $0⩽{\theta }_1⩽\cdots ⩽{\theta }_t⩽\pi /2$; we set ${\psi }_j(A,B)=sin{\theta }_j$. If $B$ is a rational subspace, its complexity is measured by its height $H\left(B\right)=\mathrm{covol}(B\cap {\mathbb{Z}}^n)$. We denote by ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_j$ the exponent of approximation defined as the upper bound (possibly equal to $+\infty$) of the set of $\beta >0$ such that for infinitely many rational subspaces $B$ of dimension $e$, the inequality ${\psi }_j(A,B)⩽H{\left(B\right)}^{-\beta }$ holds. We are interested in the minimal value ${\mathring{\mu }}_n{\left(d\right|e)}_j$ taken by ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_j$ when $A$ ranges through the set of subspaces of dimension $d$ of ${ℝ}^n$ such that for all rational subspaces $B$ of dimension $e$ one has $dim(A\cap B)<j$. We show that if $A$ is included in a rational subspace $F$ of dimension $k$, its exponent in ${ℝ}^n$ is the same as its exponent in ${ℝ}^k$ via a rational isomorphism $F\to {ℝ}^k$. This allows us to deduce new upper bounds for ${\mathring{\mu }}_n{\left(d\right|e)}_j$. We also study the values taken by ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_e$ when $A$ is a subspace of ${ℝ}^n$ satisfying $dim(A\cap B)<e$ for all rational subspaces $B$ of dimension $e$.

Résumé

Cet article reprend l’idée énoncée par W. M. Schmidt en 1967, généralisant l’approximation diophantienne classique à des sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^n$. Étant donné deux sous-espaces vectoriels de ${ℝ}^n$, $A$ et $B$ de dimensions respectives $d$ et $e$, avec $d+e⩽n$, la proximité entre $A$ et $B$ est mesurée par $t=min(d,e)$ angles canoniques $0⩽{\theta }_1⩽\cdots ⩽{\theta }_t⩽\pi /2$ ; on pose ${\psi }_j(A,B)=sin{\theta }_j$. Si $B$ est un sous-espace vectoriel rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur $H\left(B\right)=\mathrm{covol}(B\cap {\mathbb{Z}}^n)$. On note ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_j$ l’exposant d’approximation défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à $+\infty$) de l’ensemble des $\beta >0$ tels que l’inégalité ${\psi }_j(A,B)⩽H{\left(B\right)}^{-\beta }$ soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces vectoriels rationnels $B$ de dimension $e$. On s’intéresse à la valeur minimale ${\mathring{\mu }}_n{\left(d\right|e)}_j$ que prend ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_j$ quand $A$ décrit l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de ${ℝ}^n$ tels pour tout sous-espace vectoriel rationnel $B$ de dimension $e$, on ait $dim(A\cap B)<j$. On montre que si $A$ est inclus dans un sous-espace vectoriel rationnel $F$ de dimension $k$, son exposant dans ${ℝ}^n$ est le même que son exposant dans ${ℝ}^k$ via un isomorphisme rationnel $F\to {ℝ}^k$. Ceci permet de déduire de nouvelles majorations de ${\mathring{\mu }}_n{\left(d\right|e)}_j$. On étudie aussi les valeurs prises par ${\mu }_n{\left(A\right|e)}_e$ quand $A$ est un sous-espace vectoriel de ${ℝ}^n$ vérifiant $dim(A\cap B)<e$ pour tout sous-espace rationnel $B$ de dimension $e$.

Détail

Reçu le : 2021-06-11
Révisé le : 2022-01-04
Accepté le : 2022-01-30
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1230

Classification : 11J13, 11J25
Keywords: Diophantine approximation, approximation exponents, rational subspaces

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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