Factoring Gleason polynomials modulo 2

Buff, Xavier¹ ; Floyd, William² ; Koch, Sarah³ ; Parry, Walter⁴

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier 118, route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex, France
² Department of Mathematics Virginia Tech Blacksburg, VA 2406, U.S.A.
³ Department of Mathematics University of Michigan Ann Arbor, MI 48109, U.S.A.
⁴ Department of Mathematics and Statistics Eastern Michigan University Ypsilanti, MI 48197, U.S.A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 787-812.

Abstract (VO)

Among the connected components of the interior of the Mandelbrot set are those that are hyperbolic. These components consist of parameters $c\in ℂ$ for which the critical point $z_0=0$ of $f_c:z\mapsto z^2+c$ is attracted to an attracting periodic cycle. Every hyperbolic component contains a unique center; that is, a parameter $c$ for which the critical point $z_0$ is periodic. For a given $n\ge 1$, the Gleason polynomial for period $n$ is the monic polynomial $G_n\in \mathbb{Z}\left[c\right]$ whose roots are exactly the centers of the hyperbolic components of period $n$. It is unknown if $G_n$ factors over $\mathbb{Z}$. In this article, we factor $G_n$ modulo $2$. We prove the following remarkable fact: the number of irreducible factors of $G_n$ modulo $2$ is equal to the number of real roots of $G_n$.

Résumé

Parmi les composantes connexes de l’intérieur de l’ensemble de Mandelbrot, on trouve celles qui sont hyperboliques. Ces composantes correspondent aux paramètres $c\in ℂ$ pour lesquels le point critique $z_0=0$ du polynôme $f_c:z\mapsto z^2+c$ est attiré par un cycle attractif. Chaque composante hyperbolique contient un unique centre ; c’est le paramètre $c$ pour lequel $z_0$ est périodique. Étant donné un entier $n\ge 1$, le polynôme de Gleason de période $n$ est le polynôme unitaire $G_n\in \mathbb{Z}\left[c\right]$ dont les racines sont précisément les centres des composantes hyperboliques de période $n$. On ne sait pas si $G_n$ se factorise sur $\mathbb{Z}$. Dans cet article, nous factorisons $G_n$ modulo $2$. Nous prouvons le fait remarquable suivant : le nombre de facteurs irréductibles de $G_n$ modulo $2$ est égal au nombre de racines réelles de $G_n$.

Détail

Reçu le : 2021-05-16
Révisé le : 2022-08-23
Accepté le : 2022-10-21
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1228

Classification : 37F10, 37P35, 37P05
Keywords: Mandelbrot set, hyperbolic component, Gleason polynomial

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

Bibliographie

[1] Bousch, Thierry Sur quelques problèmes de dynamique holomorphe, Ph. D. Thesis, Université de Paris-Sud, Orsay (1992)

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