On a family of unit equations over simplest cubic fields

Vukusic, Ingrid¹ ; Ziegler, Volker¹

¹ University of Salzburg Hellbrunnerstrasse 34/I A-5020 Salzburg, Austria

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 705-718

Abstract (VO)

Let $a\in \mathbb{Z}$ and $\rho$ be a root of $f_a\left(x\right)=x^3-a{x}^2-(a+3)x-1$, then the number field $K_a=\mathbb{Q}\left(\rho \right)$ is called a simplest cubic field. In this paper we consider the family of unit equations $u_1+u_2=n$ where $u_1,u_2\in \mathbb{Z}{\left[\rho \right]}^{*}$ and $n\in \mathbb{Z}$. We completely solve the unit equations under the restriction $\left|n\right|\le max\{1,|a{|}^{1/3}\}$.

Résumé

Soient $a\in \mathbb{Z}$ et $\rho$ une racine de $f_a\left(x\right)=x^3-a{x}^2-(a+3)x-1$. On dit que le corps de nombres $K_a=\mathbb{Q}\left(\rho \right)$ est un corps cubique élémentaire. Dans cet article, nous considérons la famille des équations en unités algébriques de la forme $u_1+u_2=n$ où $u_1,u_2\in \mathbb{Z}{\left[\rho \right]}^{*}$ et $n\in \mathbb{Z}$. Nous résolvons complètement ces équations sous l’hypothèse $\left|n\right|\le max\left\{1,{\left|a\right|}^{1/3}\right\}$.

Détail

Reçu le : 2021-04-26
Accepté le : 2021-07-09
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1223

Classification : 11D61, 11D75, 11J86
Keywords: Diophantine equations, unit equations, simplest cubic fields

Licence : CC-BY-ND 4.0

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