On Dirichlet biquadratic fields

Fouvry, Étienne¹ ; Koymans, Peter²

¹ Université Paris–Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405 Orsay, France
² Max Planck Institute for Mathematics, Vivatsgasse 7, 53111 Bonn, Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 637-646

Abstract (VO)

We prove the existence of a subset, with positive natural density, of squarefree integers $n>0$ such that the $4$–rank of the ideal class group of $\mathbb{Q}(\sqrt{-n},\sqrt{n})$ is ${\omega }_3\left(n\right)-1$, where ${\omega }_3\left(n\right)$ is the number of prime divisors of $n$ that are $3$ modulo $4$. Recall that for the class groups associated to $\mathbb{Q}\left(\sqrt{n}\right)$ or $\mathbb{Q}\left(\sqrt{-n}\right)$ an analogous subset of $n$ does not exist.

Résumé

Nous prouvons l’existence d’un sous–ensemble, de densité positive, d’entiers $n>0$ sans facteur carré, tels que le $4$–rang du groupe de classes d’idéaux de $\mathbb{Q}(\sqrt{-n},\sqrt{n})$ vaut ${\omega }_3\left(n\right)-1$. On a désigné par ${\omega }_3\left(n\right)$ le nombre de diviseurs premiers de l’entier $n$ qui sont congrus à $3$ modulo $4$. Rappelons que, pour les groupes de classes associés à $\mathbb{Q}\left(\sqrt{n}\right)$ et $\mathbb{Q}\left(\sqrt{-n}\right)$, un sous–ensemble analogue d’entiers $n$ n’existe pas.

Détail

Reçu le : 2021-04-15
Révisé le : 2021-05-31
Accepté le : 2021-10-01
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1220

Classification : 11R29, 11R45
Keywords: Class groups, Dirichlet biquadratic fields

Licence : CC-BY-ND 4.0

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