An improved bound on the least common multiple of polynomial sequences

Sah, Ashwin

doi:10.5802/jtnb.1146

Sah, Ashwin ¹

¹ Department of Mathematics Massachusetts Institute of Technology Cambridge, MA 02139, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 3, pp. 891-899 Cet article a éte moissonné depuis la source Numdam

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Abstract (VO)
Résumé

Cilleruelo conjectured that if $f \in ℤ [x]$ of degree $d \geq 2$ is irreducible over the rationals, then $log lcm (f (1), ..., f (N)) \sim (d - 1) N log N$ as $N \to \infty$ . He proved it for the case $d = 2$ . Very recently, Maynard and Rudnick proved there exists $c_{d} > 0$ with $log lcm (f (1), ..., f (N)) ≳ c_{d} N log N$ , and showed one can take $c_{d} = \frac{d - 1}{d^{2}}$ . We give an alternative proof of this result with the improved constant $c_{d} = 1$ . We additionally prove the bound $log rad lcm (f (1), ..., f (N)) ≳ \frac{2}{d} N log N$ and make the stronger conjecture that $log rad lcm (f (1), ..., f (N)) \sim (d - 1) N log N$ as $N \to \infty$ .

Cilleruelo a conjecturé que si $f \in ℤ [x]$ de degré $d \geq 2$ est irréductible sur les rationnels, alors $log lcm (f (1), ..., f (N)) \sim (d - 1) N log N$ quand $N \to \infty$ . Il l’a prouvé dans le cas $d = 2$ . Très récemment, Maynard et Rudnick ont prouvé qu’il existe $c_{d} > 0$ tel que $log lcm (f (1), ..., f (N)) ≳ c_{d} N log N$ , et ont montré qu’on peut prendre $c_{d} = \frac{d - 1}{d^{2}}$ . Nous donnons une preuve alternative de ce résultat avec la constante améliorée $c_{d} = 1$ . De plus, nous prouvons la minoration $log rad lcm (f (1), ..., f (N)) ≳ \frac{2}{d} N log N$ et proposons une conjecture plus forte affirmant que $log rad lcm (f (1), ..., f (N)) \sim (d - 1) N log N$ quand $N \to \infty$ .

Reçu le : 2020-02-22
Révisé le : 2020-09-08
Accepté le : 2020-09-18
Publié le : 2021-01-08

DOI : 10.5802/jtnb.1146

Classification : 11N32
Keywords: Least common multiple, polynomial sequence

Affiliations des auteurs :

Sah, Ashwin ¹

¹ Department of Mathematics Massachusetts Institute of Technology Cambridge, MA 02139, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Sah, Ashwin. An improved bound on the least common multiple of polynomial sequences. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 3, pp. 891-899. doi: 10.5802/jtnb.1146

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