Méthode de Mahler, transcendance et relations linéaires : aspects effectifs

Adamczewski, Boris¹ ; Faverjon, Colin²

¹ Univ. Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1 CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan 43 blvd du 11 novembre 1918 F-69622 Villeurbanne Cedex, France
² Collège Jean Moulin 76, rue Henri Barbusse 93300 Aubervilliers, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 557-573.

Résumé (VO)

Cette note est consacrée aux aspects algorithmiques de la méthode de Mahler. Dans un travail récent, nous avons utilisé un résultat de Philippon pour montrer qu’étant donnés une fonction $q$-mahlérienne $f\left(z\right)$ appartenant à $\mathbf{k}\left\{z\right\}$, où $\mathbf{k}$ est un corps de nombres, et un nombre algébrique $\alpha$ dans le domaine d’holomorphie de $f$, le nombre $f\left(\alpha \right)$ est soit transcendant, soit dans $\mathbf{k}\left(\alpha \right)$. Nous décrivons ici un algorithme permettant de trancher cette alternative. Plus généralement, étant donnés plusieurs fonctions $q$-mahlériennes $f_1\left(z\right),\cdots ,f_r\left(z\right)$ et un nombre algébrique $\alpha$ dans le domaine d’holomorphie des $f_i$, nous montrons comment calculer explicitement une base de l’espace vectoriel des relations de dépendance linéaire sur $\mathbb{Q}$ entre les nombres $f_1\left(\alpha \right),\cdots ,f_r\left(\alpha \right)$.

Abstract

This note is concerned with algorithmic aspects of Mahler’s method. In a recent paper, we used a result of Philippon to prove that, given a $q$-mahler function $f\left(z\right)$ in $\mathbf{k}\left\{z\right\}$, where $\mathbf{k}$ is a number field, and an algebraic number $\alpha$ in the domain of holomorphy of $f$, the number $f\left(\alpha \right)$ either belongs to the number field $\mathbf{k}\left(\alpha \right)$ or is transcendental. We describe here an algorithm which allows one to decide between these alternative facts. More generally, given several $q$-mahler functions $f_1\left(z\right),\cdots ,f_r\left(z\right)$ and an algebraic number $\alpha$ lying in the domain of holomorphy of each $f_i$, we show how to explicitly compute a basis of the vector space of the linear dependence relations over $\mathbb{Q}$ between the numbers $f_1\left(\alpha \right),\cdots ,f_r\left(\alpha \right)$.

Détail

Reçu le : 2016-11-06
Révisé le : 2017-04-03
Accepté le : 2017-04-07
Publié le : 2018-12-07
DOI : 10.5802/jtnb.1039

Classification : 11J81, 11J72
Mots-clés : Méthode de Mahler, transcendance, indépendance linéaire
Keywords: Mahler’s method, transcendence, linear independence

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

Bibliographie

[1] Adamczewski, Boris; Bell, Jason P. A problem about Mahler functions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., Volume 17 (2017) no. 4, pp. 1301-1355 | MR | Zbl

[2] Adamczewski, Boris; Faverjon, Colin Méthode de Mahler : relations linéaires, transcendance et applications aux nombres automatiques, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 115 (2017) no. 1, pp. 55-90 | DOI | Zbl

[3] Bell, Jason P.; Coons, Michael Transcendence tests for Mahler functions, Proc. Am. Math. Soc., Volume 145 (2017) no. 3, p. 1061-107 | MR | DOI | Zbl

[4] Dumas, Philippe Récurrences mahlériennes, suites automatiques, études asymptotique Mathématiques, Université de Bordeaux I (France) (1993) (Ph. D. Thesis) | MR

[5] Philippon, Patrice Groupes de Galois et nombres automatiques, J. Lond. Math. Soc., Volume 92 (2015) no. 3, pp. 596-614 | MR | DOI | Zbl

[6] Randé, Bernard Equations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites $p$-régulières, Université de Bordeaux I (France) (1992) (Ph. D. Thesis)