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This paper has two objectives. First, we study lattices with skew-Hermitian forms over division algebras with positive involutions. For division algebras of Albert types I and II, we show that such a lattice contains an “orthogonal” basis for a sublattice of effectively bounded index. Second, we apply this result to obtain new results in the field of unlikely intersections. More specifically, we prove the Zilber–Pink conjecture for the intersection of curves with special subvarieties of simple PEL type I and II under a large Galois orbits conjecture. We also prove this Galois orbits conjecture for certain cases of type II.
Cet article a deux objectifs. Nous étudions d’abord les réseaux munis de formes anti-hermitiennes sur des algèbres à division avec involutions positives. Pour les algèbres à division de type I et II dans la classification d’Albert, nous montrons qu’un tel réseau contient une base « orthogonale » pour un sous-réseau d’indice borné de manière effective. Ensuite, nous appliquons ce résultat pour obtenir de nouveaux résultats dans la théorie des intersections atypiques. En particulier, nous prouvons la conjecture de Zilber–Pink pour l’intersection de courbes avec les sous-variétés spéciales de type PEL simple I et II en supposant la conjecture des grandes orbites galoisiennes vraie. De plus, nous prouvons cette conjecture sur les orbites galoisiennes dans certains cas de type II.
Daw, Christopher 1 ; Orr, Martin 2
CC-BY 4.0
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Daw, Christopher; Orr, Martin. Lattices with skew-Hermitian forms over division algebras and unlikely intersections. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 1097-1156. doi: 10.5802/jep.240
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