On the $L^2$ rate of convergence in the limit from the Hartree to the Vlasov–Poisson equation

[Sur le taux de convergence dans $L^2$ dans la limite de l’équation de Hartree à l’équation de Vlasov-Poisson]

Chong, Jacky J.¹ ; Lafleche, Laurent² ; Saffirio, Chiara³

¹ Department of Mathematics, The University of Texas at Austin Austin, TX 78712, USA & Department of Mathematics, School of Mathematical Sciences, Peking University Beijing, China
² Department of Mathematics, The University of Texas at Austin Austin, TX 78712, USA & Institut Camille Jordan, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1 43 boulevard du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne Cedex, France
³ Department of Mathematics and Computer Science, University of Basel 4051 Basel, Switzerland

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 703-726

Abstract (VO)

Using a new stability estimate for the difference of the square roots of two solutions of the Vlasov–Poisson equation, we obtain the convergence in the $L^2$ norm of the Wigner transform of a solution of the Hartree equation with Coulomb potential to a solution of the Vlasov–Poisson equation, with a rate of convergence proportional to $\hslash$. This improves the ${\hslash }^{3/4-\epsilon }$ rate of convergence in $L^2$ obtained in [L. Lafleche, C. Saffirio: Analysis & PDE, to appear]. Another reason of interest of this paper is the new method, reminiscent of the ones used to prove the mean-field limit from the many-body Schrödinger equation towards the Hartree–Fock equation for mixed states.

Résumé

Grâce à une nouvelle estimée de stabilité pour la différence entre les racines carrées de deux solutions de l’équation de Vlasov-Poisson, nous obtenons la convergence en norme $L^2$ de la transformée de Wigner d’une solution de l’équation de Hartree avec potentiel de Coulomb vers une solution de l’équation de Vlasov-Poisson, avec un taux de convergence proportionnel à la constante de Planck $\hslash$. Ceci améliore le taux de convergence $h^{3/4-\epsilon }$ dans $L^2$ obtenu dans [L. Lafleche, C. Saffirio : Analysis & PDE, à paraître]. Un autre intérêt de cet article est la nouvelle méthode, réminiscente de celles utilisées pour prouver la limite de champ moyen de l’équation de Schrödinger à $N$ corps vers l’équation de Hartree-Fock pour des états mixtes.

Détail

Reçu le : 2022-04-08
Accepté le : 2023-03-20
Publié le : 2023-04-07

DOI : 10.5802/jep.230

Classification : 81Q20, 35Q55, 35Q83, 82C10, 82C05
Keywords: Semiclassical limit, Hartree equation, Vlasov equation, Coulomb potential, gravitational potential.
Mots-clés : Limite semi-classique, équation de Hartree, équation de Vlasov, potentiel de Coulomb, potentiel gravitationnel

Licence : CC-BY 4.0

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