The noncommutative factor theorem for lattices in product groups

[Le théorème du facteur non commutatif pour des réseaux dans des groupes produits]

Boutonnet, Rémi¹ ; Houdayer, Cyril²

¹ Institut de Mathématiques de Bordeaux, CNRS, Université Bordeaux I 33405 Talence, France
² Université Paris-Saclay, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, CNRS, Institut Universitaire de France 91405 Orsay, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 513-524

Abstract (VO)

We prove a noncommutative Bader-Shalom factor theorem for lattices with dense projections in product groups. As an application of this result and our previous works, we obtain a noncommutative Margulis factor theorem for all irreducible lattices $\Gamma <G$ in higher rank semisimple algebraic groups. Namely, we give a complete description of all intermediate von Neumann subalgebras $\mathrm{L}\left(\Gamma \right)\subset M\subset \mathrm{L}(\Gamma \curvearrowright G/P)$ sitting between the group von Neumann algebra and the group measure space von Neumann algebra associated with the action on the Furstenberg-Poisson boundary.

Résumé

Nous montrons un théorème du facteur de Bader-Shalom non commutatif pour les réseaux avec des projections denses dans les groupes produits. Comme application de ce résultat et de nos travaux précédents, nous obtenons un théorème du facteur de Margulis non commutatif pour tous les réseaux irréductibles $\Gamma <G$ dans les groupes algébriques semi-simples de rang supérieur. En particulier, nous donnons une description complète de toutes les sous-algèbres de von Neumann intermédiaires $\mathrm{L}\left(\Gamma \right)\subset M\subset \mathrm{L}(\Gamma \curvearrowright G/P)$ situées entre l’algèbre de von Neumann de groupe et l’algèbre de von Neumann d’espace de mesure de groupe associée à l’action sur le bord de Furstenberg-Poisson.

Détail

Reçu le : 2022-07-28
Accepté le : 2023-02-20
Publié le : 2023-02-28

DOI : 10.5802/jep.223

Classification : 22E40, 37A40, 46L10, 46L55
Keywords: Factor theorem, Furstenberg-Poisson boundaries, group measure space von Neumann algebras, higher rank lattices in semisimple algebraic groups
Mots-clés : Théorème du facteur, bords de Furstenberg-Poisson, algèbres de von Neumann d’espace de mesure de groupe, groupes algébriques semi-simples de rang supérieur

Licence : CC-BY 4.0

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