Équations elliptiques non linéaires monotones avec un deuxième membre $L^1$ ou mesure

Murat, François

Journées équations aux dérivées partielles (1998), article no. 9, 4 p.

Résumé

On considère le problème :

$$\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{div}a(x,Du)=f\mathrm{dans}\Omega ,\hfill \\ u=0\mathrm{sur}\partial \Omega ,\hfill \end{array}\right.$$

où $\Omega$ est un ouvert borné de ${𝐑}^N$, où $a(x,\xi )$ est une fonction de Carathéodory, monotone en $\xi$, coercive, qui définit un opérateur dans $W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ (avec $1<p\le N$), et où $f$ appartient à $L^1\left(\Omega \right)$ ou est une mesure bornée sur $\Omega$. On introduit une nouvelle définition de la solution de ce problème, la notion de solution renormalisée (ou entropique), et on montre l’existence d’une telle solution et sa continuité par rapport à $f$. Quand $f$ appartient à $L^1\left(\Omega \right)$, on montre en outre que cette solution est unique.

Détail

DOI : 10.5802/jedp.538