Analyse sur les groupes de Lie non commutatifs

The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group

[L’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg]

Rottensteiner, David¹  ; Ruzhansky, Michael^1, 2

¹ Department of Mathematics: Analysis, Logic and Discrete Mathematics, Ghent University, Krijgslaan 281, S8, 9000 Gent, Belgium
² School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London, Mile End Road, London E1 4NS, United Kingdom

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 5, pp. 609-614.

Abstract (VO)

In this note we present a notion of harmonic oscillator on the Heisenberg group ${\mathbf{H}}_n$ which forms the natural analogue of the harmonic oscillator on ${ℝ}^n$ under a few reasonable assumptions: the harmonic oscillator on ${\mathbf{H}}_n$ should be a negative sum of squares of operators related to the sub-Laplacian on ${\mathbf{H}}_n$, essentially self-adjoint with purely discrete spectrum, and its eigenvectors should be smooth functions and form an orthonormal basis of $L^2\left({\mathbf{H}}_n\right)$. This approach leads to a differential operator on ${\mathbf{H}}_n$ which is determined by the (stratified) Dynin–Folland Lie algebra. We provide an explicit expression for the operator as well as an asymptotic estimate for its eigenvalues.

Résumé

Dans cette note, nous présentons une notion d’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg ${\mathbf{H}}_n$ qui forme l’analogue naturel de l’oscillateur harmonique sur ${ℝ}^n$ sous quelques hypothèses raisonnables : l’oscillateur harmonique sur ${\mathbf{H}}_n$ devraît être une somme négative de carrés d’opérateurs liée au sous-laplacien sur ${\mathbf{H}}_n$, être essentiellement auto-adjoint avec un spectre purement discret, et les vecteurs propres doivent former une base orthonormée de $L^2\left({\mathbf{H}}_n\right)$. Cette approche conduit à un opérateur différentiel sur ${\mathbf{H}}_n$ qui est déterminé par l’algèbre de Dynin–Folland de Lie (stratifiée). Nous fournissons une expression explicite pour l’opérateur ainsi qu’une estimation asymptotique pour ses valeurs propres.

Détail

Reçu le : 2020-02-21
Révisé le : 2020-05-25
Accepté le : 2020-05-25
Publié le : 2020-09-14

DOI : 10.5802/crmath.78

Classification : 35R03, 35P20

Licence : CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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