Geodesic
Équations aux dérivées partielles, Théorie du contrôle
A stability estimate for data assimilation subject to the heat equation with initial datum
[Une estimée de stabilité pour l’assimilation de données pour l’équation de la chaleur avec une donnée initiale]
Burman, Erik1 ; Delay, Guillaume2   ; Ern, Alexandre3 ; Oksanen, Lauri4
1 Department of Mathematics, University College London, London, UK–WC1E 6BT, UK
2 Sorbonne Université, CNRS, Université Paris Cité, LJLL, F-75005 Paris, France
3 CERMICS, École des Ponts, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, and INRIA, Paris, France
4 University of Helsinki, Department of Mathematics and Statistics, P.O 68, 00014 University of Helsinki, Finland
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G9, pp. 1521-1530

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This paper studies the unique continuation problem for the heat equation. We prove a so-called conditional stability estimate for the solution. We are interested in local estimates that are Hölder stable with the weakest possible norms of data on the right-hand side. Such an estimate is useful for the convergence analysis of computational methods dealing with data assimilation. We focus on the case of a known solution at initial time and in some subdomain but that is unknown on the boundary. To the best of our knowledge, this situation has not yet been studied in the literature.

Cette contribution traite du problème de continuation unique pour l’équation de la chaleur. Nous prouvons une estimée conditionnelle de stabilité pour la solution de ce problème. Nous sommes intéressés par une estimée locale qui est Hölder-stable avec les normes les plus faibles possibles pour le terme de droite. Une telle estimée est utile pour l’analyse de convergence des méthodes de calcul traitant du problème d’assimilation de données. Nous nous intéressons en particulier au cas où la solution est connue à l’instant initial et dans un certain sous-domaine mais est inconnue sur la frontière du domaine. Cette situation ne semble pas avoir été déjà traitée dans la littérature.

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DOI : 10.5802/crmath.506
Classification : 35A23, 35B30, 35K05

Burman, Erik 1 ; Delay, Guillaume 2 ; Ern, Alexandre 3 ; Oksanen, Lauri 4

1 Department of Mathematics, University College London, London, UK–WC1E 6BT, UK
2 Sorbonne Université, CNRS, Université Paris Cité, LJLL, F-75005 Paris, France
3 CERMICS, École des Ponts, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, and INRIA, Paris, France
4 University of Helsinki, Department of Mathematics and Statistics, P.O 68, 00014 University of Helsinki, Finland
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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