Algèbre, Combinatoire

Torus quotient of the Grassmannian $G_{n,2n}$

Nayek, Arpita¹ ; Saha, Pinakinath¹

¹ Department of Mathematics, IIT Bombay, Powai, Mumbai 400076, India

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G9, pp. 1499-1509

Abstract (VO)

Let $G_{n,2n}$ be the Grassmannian parameterizing the $n$-dimensional subspaces of ${ℂ}^{2n}$. The Picard group of $G_{n,2n}$ is generated by a unique ample line bundle $𝒪\left(1\right)$. Let $T$ be a maximal torus of $\mathrm{SL}(2n,ℂ)$ which acts on $G_{n,2n}$ and $𝒪\left(1\right)$. By [10, Theorem 3.10, p. 764], $2$ is the minimal integer $k$ such that $𝒪\left(k\right)$ descends to the GIT quotient. In this article, we prove that the GIT quotient of $G_{n,2n}$ ($n\ge 3$) by $T$ with respect to $𝒪\left(2\right)=𝒪{\left(1\right)}^{\otimes 2}$ is not projectively normal when polarized with the descent of $𝒪\left(2\right)$.

Résumé

Soit $G_{n,2n}$ la Grassmannienne des sous-espaces de dimension $n$ de ${ℂ}^{2n}$. Le groupe de Picard de $G_{n,2n}$ est engendré par un unique fibré en droites ample $𝒪\left(1\right)$. Fixons un tore maximal $T$ du groupe $\mathrm{SL}(2n,ℂ)$ qui agit sur $G_{n,2n}$ et $𝒪\left(1\right)$. D’après [10, Theorem 3.10, p. 764], $2$ est l’entier minimal $k$ tel que $𝒪\left(k\right)$ descende au quotient GIT. Dans cet article, nous prouvons que le quotient GIT de $G_{n,2n}$ ($n\ge 3$) par $T$ par rapport à $𝒪\left(2\right)=𝒪{\left(1\right)}^{\otimes 2}$ n’est pas projectivement normal lorsqu’il est polarisé avec la descente de $𝒪\left(2\right)$.

Détail

Reçu le : 2022-09-14
Révisé le : 2023-03-29
Accepté le : 2023-03-29
Publié le : 2023-11-10

DOI : 10.5802/crmath.501

Classification : 14M15, 05E10
Keywords: Grassmannian, Line bundle, Semi-stable point, GIT-quotient, Projective normality

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