Géométrie et Topologie, Systèmes dynamiques

Étude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$

Dufour, Jean-Paul^1, 2 ; Lehmann, Daniel^1, 3 

¹ ancien professeur à l’Université de Montpellier II
² 1 rue du Portalet 34820 Teyran, France
³ 4 rue Becagrun 30980 Saint Dionisy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G9, pp. 1491-1497

Résumé (VO)

Pour les $(n+1)$-tissus en courbes dans une variété ambiante de dimension $n$, nous définissons d’abord une généralisation de la courbure de Blaschke du cas $n=2$. qui s’annule ssi le tissu est de rang maximum 1. Mais, contrairement au cas $n=2$ pour lequel tous les 3-tissus de rang 1 sont localement isomorphes, nous démontrons l’existence en dimension trois d’une infinité non dénombrable de classes d’isomorphisme de germes de 4-tissus en courbes qui sont de rang un : nous donnons un moyen de les obtenir toutes, et donnons des exemples d’invariants de ces classes d’isomorphisme, permettant en particulier de distinguer parmi elles le cas «  quadrilatéral ».

Abstract

For $(n+1)$-webs by curves in an ambiant $n$-dimensional manifold, we first define a generalization of the well known Blaschke curvature of the dimension two, which vanishes iff the web has the maximum possible rank which is one. But, contrary to the dimension two where all 3-webs of rank one are locally isomorphic, we prove that there are infinitely many classes of isomorphism for germs of 4-webs by curves of rank one in the dimension three: we provide a procedure for building all of them, and give examples of invariants of these classes allowing in particular to distinguish the so-called quadrilateral webs among them.

Détail

Reçu le : 2023-01-15
Révisé le : 2023-03-25
Accepté le : 2023-03-28
Publié le : 2023-11-10

DOI : 10.5802/crmath.500

Classification : 53A60
Mots-clés : tissus en courbes, courbure, rang

Licence : CC-BY 4.0

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