Analyse harmonique, Équations aux dérivées partielles

Remarks on the $L^p$ convergence of Bessel–Fourier series on the disc

[Remarques sur la convergence $L^p$ des séries de Bessel–Fourier sur le disque]

Acosta Babb, Ryan Luis¹

¹ University of Warwick, United Kingdom

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G7, pp. 1075-1080

Abstract (VO)

The $L^p$ convergence of eigenfunction expansions for the Laplacian on planar domains is largely unknown for $p\ne 2$. After discussing the classical Fourier series on the 2-torus, we move onto the disc, whose eigenfunctions are explicitly computable as products of trigonometric and Bessel functions. We summarise a result of Balodis and Córdoba regarding the $L^p$ convergence of the Bessel–Fourier series in the mixed norm space $L_{\mathrm{rad}}^p\left(L_{\mathrm{ang}}^2\right)$ on the disk for the range $\frac{4}{3}<p<4$. We then describe how to modify their result to obtain $L^p(𝔻,r\mathrm{d}r\mathrm{d}t)$ norm convergence in the subspace $L_{\mathrm{rad}}^p\left(L_{\mathrm{ang}}^q\right)$ ($\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$) for the restricted range $2\le p<4$.

Résumé

La convergence $L^p$ des développements en fonctions propres du Laplacien dans des domaines du plan est largement inconnue lorsque $p\ne 2$. Après avoir discuté des séries de Fourier classiques sur le tore, nous passons au disque, dont les fonctions propres sont explicitement calculables comme étant le produit des fonctions trigonométriques et de Bessel. Nous résumons un résultat de Balodis et Córdoba concernant la convergence $L^p$ de la série de Bessel–Fourier dans l’espace de norme mixte $L_{\mathrm{rad}}^p\left(L_{\mathrm{ang}}^2\right)$ dans le disque pour l’intervalle $\frac{4}{3}<p<4$. Nous décrivons ensuite comment on peut modifier leur résultat pour obtenir la convergence dans la norme $L^p(𝔻,r\mathrm{d}r\mathrm{d}t)$ dans le sous-espace $L_{\mathrm{rad}}^p\left(L_{\mathrm{ang}}^q\right)$ ($\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$) pour l’intervalle $2\le p<4$.

Détail

Reçu le : 2022-02-25
Révisé le : 2022-05-10
Accepté le : 2023-01-10
Publié le : 2023-10-24

DOI : 10.5802/crmath.464

Classification : 42-02, 42C05, 33C10, 34L10

Licence : CC-BY 4.0

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