Géométrie algébrique

Continuité des racines d’après Rabinoff

Marie, Emeryck¹

¹ Technische Universität Chemnitz, Fakultät für Mathematik, Reichenhainer Straße 39, 09126 Chemnitz, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G3, pp. 685-696

Résumé (VO)

Ce papier propose une généralisation d’un théorème de Joseph Rabinoff : si $𝒫$ est une famille finie de polyèdres rationnels pointés dans $N_{ℝ}$ telle qu’il existe un éventail dans $N_{ℝ}$ contenant tous les cônes de récession des polyèdres de $𝒫$, si $k$ est un corps non archimédien complet, si $S$ est un espace $k$-analytique (au sens de Berkovich) régulier connexe et $Y$ un fermé $k$-analytique de $U_{𝒫}{\times }_{k}S$ de complète intersection relative et contenu dans l’intérieur relatif de $U_{𝒫}{\times }_{k}S$ au-dessus de $S$, alors la quasi-finitude du morphisme $\pi :Y\to S$ implique sa platitude et sa finitude. De plus, toutes les fibres finies de $\pi$ ont la même longueur. Cela fournit notamment une justification analytique au concept d’intersection stable utilisé en théorie de l’intersection tropicale.

Abstract

The content of this paper is a generalization of a theorem by Joseph Rabinoff: if $𝒫$ is a finite family of pointed and rational polyhedra in $N_{ℝ}$ such that there exists a fan in $N_{ℝ}$ that contains all the recession cones of the polyhedra of $𝒫$, if $k$ is a complete non-archimedean field, if $S$ is a connected and regular $k$-analytic space (in the sense of Berkovich) and $Y$ is a closed $k$-analytic subset of $U_{𝒫}{\times }_{k}S$ which is relative complete intersection and contained in the relative interior of $U_{𝒫}{\times }_{k}S$ over $S$, then the quasifiniteness of $\pi :Y\to S$ implies its flatness and finiteness; moreover, all the finite fibers of $\pi$ have the same length. This namely gives a analytic justification to the concept of stable intersection used in the theory of tropical intersection.

Détail

Reçu le : 2021-11-24
Révisé le : 2022-08-01
Accepté le : 2022-10-19
Publié le : 2023-03-02

DOI : 10.5802/crmath.439

Licence : CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits