Équations aux dérivées partielles

The velocity diagram for traveling waves

Al Haj, Mohammad¹ ; Monneau, Régis^2, 3 

¹ Lebanese University, Faculty of Science (section 5), Nabatiye 1700, Lebanon
² CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech, Université Paris-Est, 6 et 8 avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vallée Cedex 2, France
³ CEREMADE, Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal De Lattre De Tassigny, 75775 Paris Cedex 16, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G4, pp. 777-782

Abstract (VO)

In this Note, we consider traveling waves in a reaction-diffusion equation in dimension one. Motivated by the motion of dislocations in crystals, we introduce an additive parameter $\sigma$ in the reaction term, which may be interpreted as an exterior force applied on the crystal. Under certain natural assumptions and for every value of $\sigma \in [{\sigma }^{-},{\sigma }^{+}]$, we show the existence of traveling waves $\varphi$ of velocity $c$. The range $\sigma \in ({\sigma }^{-},{\sigma }^{+})$ corresponds to bistable cases with a unique velocity $c=c\left(\sigma \right)$. On the contrary, the case $\sigma ={\sigma }^{+}$ is positively monostable with a branch of velocities $c\ge c^{+}$, while the case $\sigma ={\sigma }^{-}$ is negatively monostable with a branch of velocities $c\le c^{-}$. This study gives rise to a natural connection between bistable cases and monostable cases in a single velocity diagram. We also give some qualitative properties of the velocity function $\sigma \mapsto c\left(\sigma \right)$.

Résumé

Dans cette Note, nous considérons des ondes progressives pour une équation de réaction-diffusion en dimension un. Motivés par le mouvement de dislocations dans les cristaux, nous introduisons un paramètre additif $\sigma$ dans le terme de réaction, qui peut être interprété comme une force extérieure appliquée au cristal. Sous certaines hypothèses naturelles et pour chaque valeur de $\sigma \in [{\sigma }^{-},{\sigma }^{+}]$, nous montrons l’existence d’ondes progressives $\varphi$ se déplaçant à la vitesse $c$. Le domaine $\sigma \in ({\sigma }^{-},{\sigma }^{+})$ correspond aux cas bistables avec une unique vitesse $c=c\left(\sigma \right)$. Au contraire, le cas $\sigma ={\sigma }^{+}$ est positivement monostable avec une branche de vitesses $c\ge c^{+}$, et le cas $\sigma ={\sigma }^{-}$ est négativement monostable avec une branche de vitesse $c\le c^{-}$. Cette étude met en évidence un lien naturel entre les cas bistables et les cas monostables au sein d’un unique diagramme en vitesse. On donne aussi des propriétés qualitatives de la fonction vitesse $\sigma \mapsto c\left(\sigma \right)$.

Détail

Reçu le : 2022-08-02
Révisé le : 2022-09-28
Accepté le : 2022-09-28
Publié le : 2023-05-11

DOI : 10.5802/crmath.433

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