Analyse fonctionnelle, Analyse numérique

Stability of a weighted L2 projection in a weighted Sobolev norm

[Stabilité d’une projection L2 à poids dans une norme de Sobolev à poids]

Averseng, Martin¹

¹ Seminar for Applied Mathematics, ETH Zurich

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 361 (2023) no. G4, pp. 757-766

Abstract (VO)

We prove the stability of a weighted $L^2$ projection operator onto piecewise linear finite elements spaces in a weighted Sobolev norm. Namely, we consider the orthogonal projections ${\pi }_{N,\omega }$ from $L^2(𝔻,1/\omega \left(x\right)\mathrm{d}x)$ to ${𝒳}_N$, where $𝔻\subset {ℝ}^2$ is the unit disk, $\omega \left(x\right)=\sqrt{1-{\left|x\right|}^2}$ and the spaces ${\left({𝒳}_N\right)}_{N\in \mathbb{N}}$ consist of piecewise linear functions on a family of shape-regular and quasi-uniform triangulations of $𝔻$. We show that ${\pi }_{N,\omega }$ is stable in a weighted Sobolev norm, and prove an upper bound on the stability constant that does not depend on $N$. The result also holds when the disk $𝔻$ is replaced by a more general surface $\Gamma \subset {ℝ}^3$, replacing the weight $\omega$ by ${\omega }_{\Gamma }\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{d}(x,\partial \Gamma )}$, the square root of the distance from $x$ to the manifold boundary of $\Gamma$.

Résumé

On démontre la stabilité dans une norme de Sobolev à poids, de la projection orthogonale par rapport au produit scalaire d’un espace $L^2$ à poids, sur une famille d’éléments finis linéaires par morceaux. Plus précisément, soit ${\pi }_{N,\omega }$, de $L^2(𝔻,1/\omega \left(x\right)\mathrm{d}x)$ dans ${𝒳}_N$, où $𝔻\subset {ℝ}^2$ est le disque unité, $\omega \left(x\right)=\sqrt{1-{\left|x\right|}^2}$ et les espaces ${\left({𝒳}_N\right)}_{N\in \mathbb{N}}$ sont des espaces de fonctions continues et linéaires par morceaux sur une famille de triangulations régulière de $𝔻$. On montre que ${\pi }_{N,\omega }$ est stable dans une norme de Sobolev à poids, avec une borne supérieure sur la constante de stabilité qui ne dépend pas de $N$. Le résultat s’étend au cas de surfaces plus générales $\Gamma \subset {ℝ}^3$, en remplaçant le poids $\omega$ par ${\omega }_{\Gamma }\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{d}(x,\partial \Gamma )}$, la racine carrée de la distance de $x$ à $\partial \Gamma$, le bord de $\Gamma$.

Détail

Reçu le : 2022-08-01
Révisé le : 2022-09-19
Accepté le : 2022-09-21
Publié le : 2023-05-11

DOI : 10.5802/crmath.426

Classification : 46E35, 65N12, 65N38

Licence : CC-BY 4.0

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