The order structure of the space of measures with continuous translation

Sleijpen, Gérard L. G.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 67-110

Abstract (VO)

Let $G$ be a locally compact group, and let $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$ be a function norm on $L^1(G{)}_{\mathrm{loc}}$ such that the space $L^{\infty }(G,B)$ of all locally integrable functions with finite $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$-norm is an invariant solid Banach function space. Consider the space $L_{\mathrm{RUC}}(G,B)$ of all functions in $L^{\infty }(G,B)$ of which the right translation is a continuous map from $G$ into $L^{\infty }(G,B)$. Characterizations of the case where $L_{\mathrm{RUC}}(G,B)$ is a Riesz ideal of $L^{\infty }(G,B)$ are given in terms of the order-continuity of $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$ on certain subspaces of $L^{\infty }\left(G\right)$. Throughout the paper, the discussion is carried out in the context of and all the results are formulated for foundation semigroups with identity element; any locally compact group is an example of such a semigroup.

Résumé

Soit $G$ un groupe localement compact, et soit $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$ une norme de fonctions (c’est-à-dire ayant la propriété de Riesz) sur $L^1(G{)}_{\mathrm{loc}}$, telle que le sous-espace $L^{\infty }(G,B)$, formé des fonctions localement intégrables de $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$-norme bornée, soit un espace de fonctions de Banach invariant et solide (solide dans l’espace de Riesz $L^1(G{)}_{\mathrm{loc}}$). Considérons l’espace $L_{\mathrm{RUC}}(G,B)$, formé des fonctions dans $L^{\infty }(G,B)$ avec une translation à droite qui est une application continue de $G$ dans $L^{\infty }(G,B)$. On trouvera les caractérisations du cas où $L_{\mathrm{RUC}}(G,B)$ est un sous-espace solide (un idéal de Riesz). Ces descriptions sont données à l’aide de la continuité pour l’ordre de la norme $\parallel {\parallel }_{\infty }^B$ sur certains sous-espaces de $L^{\infty }\left(G\right)$. La discussion entière se déroule et les résultats sont formulés dans le contexte des semi-groupes fondamentaux ayant un élément neutre. Tout groupe localement compact est un cas spécial d’un tel semi-groupe.

Détail

DOI : 10.5802/aif.873