Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 13-21

Résumé (VO)

Soit $\Gamma$ une courbe de Jordan fermée rectifiable dans le plan de la variable complexe. On dit que $\Gamma$ véfifie la condition corde-arc si

$$\exists C>1,\forall M,N\in \Gamma ,MN\le CMN$$

où $MN$ est la longueur du plus petit arc de $\Gamma$ joignant $M$ et $N$. Soit $\Phi$ une représentation conforme du disque unité $D$ dans l’intérieur de $\Gamma$. Nous prouvons que $|{\Phi }^{\prime }|$ restreint à $\partial D$ appartient à la classe de Muckenhoupt $A^{\infty }\left(\partial D\right)$ et nous en tirons certains corollaires. Dans deux cas particuliers nous montrons que le résultat peut être amélioré.

Abstract

Let $\Gamma$ be a rectifiable closed Jordan curve of the complex plane. We say that $\Gamma$ is chord-arc if

$$\exists C>1,\forall M,N\in \Gamma ,MN\le CMN$$

where $MN$ is the length of the (smallest) subarc of $\Gamma$ joining $M$ and $N$. Let $\Phi$ be a conformal mapping from the unit disk $D$ to the interior domain of $\Gamma$. We prove that $|{\Phi }^{\prime }|$, restricted to $\partial D$ belongs to the Muckenhoupt’s class $A^{\infty }\left(\partial D\right)$ and state a few corollaries. Then we study two special cases for which the result can be improved.

Détail

DOI : 10.5802/aif.870