Note à propos d'une conjecture de H.J. Godwin sur les unités des corps cubiques

Gras, Marie-Nicole 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 1-6

Résumé (VO)

On démontre, à partir de résultats de H.J. Godwin, H. Brunotte et F. Halter-Koch, le théorème suivant : soit $K$ un corps cubique cyclique de conducteur $m$ dont le groupe de Galois $G$ est engendré par $\sigma$; soit $E$ le groupe des unités de norme 1.

Soit $\epsilon \in E$, $\epsilon \ne 1$, telle que $𝒮\left(\epsilon \right)=\frac{1}{2}\left[\right(\epsilon -{\epsilon }^{\sigma }{)}^2+({\epsilon }^{\sigma }-{\epsilon }^{{\sigma }^2}{)}^2+({\epsilon }^{{\sigma }^2}-\epsilon {)}^2]$ soit minimum. Alors $\epsilon$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-générateur de $E$.

Abstract

We show, from results of H.J. Godwin, H. Brunotte and F. Halter-Koch, the following property: Let $K$ be a cubic cyclic field of conductor $m$, with Galois group $G$ generated by $\sigma$; let $E$ be the group of units of norm 1.

Let $\epsilon \in E$, $\epsilon \ne 1$, be such that $𝒮\left(\epsilon \right)=\frac{1}{2}\left[\right(\epsilon -{\epsilon }^{\sigma }{)}^2+({\epsilon }^{\sigma }-{\epsilon }^{{\sigma }^2}{)}^2+({\epsilon }^{{\sigma }^2}-\epsilon {)}^2]$ is minimal. Then $\epsilon$ is a $\mathbf{Z}\left[G\right]$-generator of $E$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.804