Solutions d'un système d'équations analytiques réelles et applications

Tougeron, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 109-135

Résumé (VO)

On démontre que toute solution formelle $\overline{y}\left(x\right)$ d’un système d’équations analytiques réelles (resp. polynomiales réelles) $f(x,y)=0$, se relève en une solution ${\mathbf{C}}^{\infty }$ homotope à une solution analytique (resp. à une solution de Nash) aussi proche que l’on veut de $\overline{y}\left(x\right)$ pour la topologie de Krull. On utilise ce théorème pour démontrer l’algébricité (ou l’analyticité) de certains idéaux de $\mathbf{R}\left\{x\right\}$ (ou $\mathbf{R}\left[\right[x\left]\right]$), et aussi pour construire des déformations analytiques de germes d’ensembles analytiques en germes d’ensembles de Nash.

Abstract

It is proved, that any formal solution $\overline{y}\left(x\right)$ of a system of real analytic (resp. real polynomial) equations $f(x,y)=0$, can be lifted into a ${\mathbf{C}}^{\infty }$-solution, homotopic to an analytic solution (resp. to a Nash solution), which can be chosen arbitrarily closed to $\overline{y}\left(x\right)$ for the Krull topology. This theorem is then used to prove the algebraicity (the analyticity) of some ideals in $\mathbf{R}\left\{x\right\}$ $\mathbf{R}\left[\right[x\left]\right]$), and also to construct analytical deformations of germs of analytical sets into germs of Nash sets.

Détail

DOI : 10.5802/aif.627