Espaces et lignes de Green

Brelot, Marcel  ; Choquet, Gustave 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 199-263.

Résumé

Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces $G_p\left(M\right)=C^{\mathrm{te}}$) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à $\tau \ge 2\dim$, ils font la théorie dans des espaces $\mathbf{E}$ plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à $\tau \dim$. On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine $\Omega$ greenien de $\mathbf{E}$ en utilisant comme topologie $\mathbf{T}$, celle de $\mathbf{E}$ pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans $\Omega$ issues du pôle $P$. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour $G$ la borne inférieure $0$ sans rencontrer de zéro de grad $G$ et ont une limite pour $G\to 0$. Aux points d’un ensemble $e$ de la frontière de $\Omega$ aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de $e$ en $P$. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans $\Omega$ (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).

Détail

DOI : 10.5802/aif.38

Bibliographie

1. Bader. — La théorie du potentiel sur une surface de Riemann (C. R. Ac. Sc. t. 228, 1949, p. 2001). | Zbl | MR

2. Brelot. — Familles de Perron et problème de Dirichlet (Acta Szeged, IX, 1939, p. 133). | Zbl | MR | JFM

3. Brelot. — Quelques applications aux fonctions holomorphes de la théorie moderne du potentiel et du problème de Dirichlet (Bull. Soc. roy. des Sc. de Liège, 1939, p. 385). | Zbl | MR | JFM

4. Brelot. — Sur la théorie autonome des fonctions sousharmoniques (Bull. Soc. Math. t. 65, 1941, p. 72). | Zbl | MR | JFM

5. Brelot. — Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales ENS, t. 61, p. 301). | Zbl | MR | mathdoc-id

6. Brelot. — Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (J. de Math., t. 24, 1944, p. 1). | Zbl | MR | mathdoc-id

7. Brelot. — Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes (Bull. Soc. Math. de France, t. 73, 1945, p. 55-70). | Zbl | MR | mathdoc-id

8. Brelot. — Le problème de Dirichlet ramifié (Ann. Univ. Grenoble, t. 22, 1946, p. 167). | Zbl | MR | mathdoc-id

9. Brelot. — Le problème de Dirichlet géodésique (C. R., t. 228, 1949, p. 1790). | Zbl | MR

10. Brelot et Choquet. — Lignes de Green et mesure harmonique (C. R., t. 228, 1949, p. 1556). | Zbl | MR

11. G. C. Evans. — The logarithmic potential (Am. Math. Soc., Coll. Public., vol. VI, New-York 1927).

12. G. C. Evans. — Multiple valued harmonic functions in space (Univ. of. Calif., Public, in Math., New Series vol. I n° 8, p. 281-340). | Zbl | MR

13. Heins. — The conformal mapping of simply connected Riemann surfaces Ann. of math., t. 50, 1949, p. 686). | Zbl | MR

14. Kuramochi. — Potential theory and its applications (Usaka. Math. J., vol. 2, 1951, p. 123-175). | Zbl | MR

15. Lavrentieff. — Sur les fonctions d'une variable complexe représentables par des séries de polynomes (Acta sc. et ind. n° 441, Hermann, Paris, 1936). | Zbl

16. De La Vallée Poussin. — Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel et le problème généralisé de Dirichlet (Act. sc. et ind. n° 578, Paris, 1937). | Zbl

17. Nevanlinna. — Über die Lösbarkeit des Dirichletsche Problems für eine Riemannsche Fläche (Nachr. zu Gott. Bd, I, 1938, S 181-193). | Zbl | JFM

18. Nevanlinna. — Über die Anvendung einer Klasse von Integralgleichungen für Existenzbeweise in der Potentialtheorie (Acta Szeged, t. 12, 1950, p. 146-160). | Zbl | MR

19. Ohtsuka. — Dirichlet problems on Riemann surfaces and conformal mappings (Nagoya math. J., vol. 3, 1951, p. 91-137. | Zbl | MR

20. Parreau. — Comportement à la frontière de la fonction de Green d'une surface de Riemann (C. R. Ac. Sc., t. 230 (1950), p. 709). | Zbl | MR

21. Parreau. — La théorie du potentiel sur les surfaces de Riemann à frontière positive (C. R. Ac. Sc., t. 230, 1950, p. 914). | Zbl | MR

22. Parreau. — Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann (Annales de l'Institut Fourier, t. 3 ; 1951, p. 103-197, ou thèse, Paris, 1952). | Zbl | MR | mathdoc-id

23. Privaloff. — Sur quelques applications de la mesure harmonique à certains problèmes de la théorie des fonctions sousharmoniques (Mat. Svorvik, nouv. série, t. 3, 1938, p. 535). | JFM

24. Sario. — Existence des fonctions d'allure donnée sur une surface de Riemann arbitraire (C. R. Ac. Sc., t. 229, 1949, p. 1293). | Zbl | MR

25. Sario. — Quelques propriétés à la frontière se rattachant à la classification des surfaces de Riemann (C. R. Ac. Sc., t. 230, 1950, p. 42). | Zbl | MR