Positive supersolutions of non-autonomous quasilinear elliptic equations with mixed reaction

[Supersolutions positives d’équations elliptiques quasi-linéaires non autonomes avec réaction mixte]

Aghajani, Asadollah¹ ; Rădulescu, Vicenţiu D.^{2, 3, 4, 5}

¹ School of Mathematics Iran University of Science and Technology Narmak, Tehran (Iran)
² Faculty of Applied Mathematics AGH University of Science and Technology 30-059 Krakow (Poland)
³ Department of Mathematics University of Craiova 200585 Craiova (Romania)
⁴ Institute of Mathematics “Simion Stoilow” of the Romanian Academy PO Box 1-764, 014700 Bucharest, (Romania)
⁵ Brno University of Technology Faculty of Electrical Engineering and Communication Technická 3058/10 Brno 61600, (Czech Republic)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 6, pp. 2543-2566

Abstract (VO)

We provide a simple method for obtaining new Liouville-type theorems for positive supersolutions of the elliptic problem $-{\Delta }_{p}u+b\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{\frac{pq}{q+1}}=c\left(x\right)u^q$ in $\Omega$, where $\Omega$ is an exterior domain in ${ℝ}^N$ with $N\ge p>1$ and $q\ge p-1$. In the case $q\ne p-1$, we mainly deal with potentials of the type $b\left(x\right)={\left|x\right|}^a$, $c\left(x\right)={\lambda \left|x\right|}^{\sigma }$, where $\lambda >0$ and $a,\sigma \in ℝ$. We show that positive supersolutions do not exist in some ranges of the parameters $p,q,a,\sigma$, which turn out to be optimal. When $q=p-1$, we consider the above problem with general weights $b\left(x\right)\ge 0$, $c\left(x\right)>0$ and we assume that $c\left(x\right)-\frac{b^p\left(x\right)}{p^p}>0$ for large $\left|x\right|$, but we also allow the case ${lim}_{\left|x\right|\to \infty }[c\left(x\right)-\frac{b^p\left(x\right)}{p^p}]=0$. The weights $b$ and $c$ are allowed to be unbounded. We prove that if this equation has a positive supersolution, then the potentials must satisfy a related differential inequality not depending on the supersolution. We also establish sufficient conditions for the nonexistence of positive supersolutions in relationship with the values of $\tau :={lim\; sup}_{\left|x\right|\to \infty }\left|x\right|b\left(x\right)\le \infty$. A key ingredient in the proofs is a generalized Hardy-type inequality associated to the $p$-Laplace operator.

Résumé

Nous proposons une méthode simple pour obtenir de nouveaux théorèmes du type Liouville pour les supersolutions positives du problème elliptique $-{\Delta }_{p}u+b\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{\frac{pq}{q+1}}=c\left(x\right)u^q$ dans $\Omega$, où $\Omega$ est un domaine extérieur dans ${ℝ}^N$ avec $N\ge p>1$ et $q\ge p-1$. Dans le cas $q\ne p-1$, on traite principalement des potentiels du type $b\left(x\right)={\left|x\right|}^a$, $c\left(x\right)={\lambda \left|x\right|}^{\sigma }$, où $\lambda >0$ et $a,\sigma \in ℝ$. Nous montrons que les supersolutions positives n’existent pas dans certaines gammes de paramètres $p,q,a,\sigma$, qui s’avèrent optimales. Si $q=p-1$, on considère le problème ci-dessus avec des poids généraux $b\left(x\right)\ge 0$, $c\left(x\right)>0$ et on suppose que $c\left(x\right)-\frac{b^p\left(x\right)}{p^p}>0$ si $\left|x\right|$ est assez large, mais on admet aussi le cas ${lim}_{\left|x\right|\to \infty }[c\left(x\right)-\frac{b^p\left(x\right)}{p^p}]=0$. Les potentiels $b$ et $c$ sont autorisés à être non bornés. Nous prouvons que si cette équation a une supersolution positive, alors les potentiels doivent satisfaire une certaine inégalité différentielle ne dépendant pas de la supersolution. Nous établissons également des conditions suffisantes pour la non-existence de supersolutions positives en relation avec les valeurs de $\tau :={lim\; sup}_{\left|x\right|\to \infty }\left|x\right|b\left(x\right)\le \infty$. Un ingrédient clé des preuves est une inégalité généralisée de type Hardy associée à l’opérateur $p$-Laplace.

Détail

Reçu le : 2021-03-03
Accepté le : 2022-04-11
Publié le : 2023-10-26

DOI : 10.5802/aif.3576

Classification : 35J60, 35B53
Keywords: Nonlinear elliptic equation, Liouville theorem, supersolution, convection term.
Mots-clés : Équation elliptique non linéaire, théorème de Liouville, supersolution, terme de convection.

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits