Décomposition en blocs de la catégorie des représentations $\ell$-modulaires lisses de longueur finie de ${\mathrm{GL}}_m\left(D\right)$

Drevon, Bastien¹ ; Sécherre, Vincent^2, 3

¹ Lycée Edgar Quinet 63 rue des Martyrs 75009 Paris (France)
² Laboratoire de Mathématiques de Versailles UVSQ CNRS Université Paris-Saclay 78035 Versailles (France)
³ Institut Universitaire de France

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 6, pp. 2411-2468

Résumé (VO)

Soit $\mathrm{F}$ un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$, soit $\mathrm{G}$ une forme intérieure de ${\mathrm{GL}}_n\left(\mathrm{F}\right)$ avec $n\ge 1$, et soit $\ell$ un nombre premier différent de $p$. Nous décrivons la décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses de longueur finie de $\mathrm{G}$ à coefficients dans une clôture algébrique d’un corps fini de caractéristique $\ell$. Contrairement au cas des représentations complexes d’un groupe réductif $p$-adique quelconque et au cas des représentations $\ell$-modulaires de ${\mathrm{GL}}_n\left(\mathrm{F}\right)$, à chaque bloc de cette décomposition correspond non pas un unique support supercuspidal, mais une réunion finie de tels supports, que nous décrivons. Nous prouvons également qu’un bloc supercuspidal est équivalent au bloc principal (c’est-à-dire le bloc contenant le caractère trivial) du groupe multiplicatif d’une algèbre à division convenable, et nous déterminons les représentations irréductibles ayant une extension non scindée avec une représentation supercuspidale de $\mathrm{G}$ donnée.

Abstract

Let $\mathrm{F}$ be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic $p$, let $\mathrm{G}$ be an inner form of ${\mathrm{GL}}_n\left(\mathrm{F}\right)$ with $n\ge 1$ and $\ell$ be a prime number different from $p$. We describe the block decomposition of the category of smooth representations of finite length of $\mathrm{G}$ with coefficients in ${\overline{𝔽}}_{\ell }$. Unlike the case of complex representations of an arbitrary $p$-adic reductive group and that of $\ell$-modular representations of ${\mathrm{GL}}_n\left(\mathrm{F}\right)$, several non-isomorphic supercuspidal supports may correspond to the same block. We describe the (finitely many) supercuspidal supports corresponding to a given block. We also prove that a supercuspidal block is equivalent to the principal (that is, the one which contains the trivial character) block of the multiplicative group of a suitable division algebra, and we determine those irreducible representations having a nontrivial extension with a given supercuspidal representation of $\mathrm{G}$.

Détail

Reçu le : 2021-02-09
Révisé le : 2021-12-08
Accepté le : 2022-04-11
Publié le : 2023-10-26

DOI : 10.5802/aif.3572

Classification : 22E50
Mots-clés : Bloc, extension, longueur, réduction mod $\ell $, représentation supercuspidale, type
Keywords: Block, extension, length, reduction mod $\ell $, supercuspidal representation, type

Licence : CC-BY-ND 4.0

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